翻转以得到具有相等元素的2 * 2子矩阵的最小像元

本文介绍如何通过翻转操作来得到具有相等元素的2 * 2子矩阵的最小像元。

问题描述

给定一个NxM的矩阵，其中所有元素为整数。现在我们需要进行一系列翻转操作，每个翻转操作可以将矩阵的一行或一列进行翻转。翻转后，我们需要找到矩阵中所有的2 * 2子矩阵，使得子矩阵中所有的元素相等，并且子矩阵的面积最小。请设计一个算法，求出这个最小的面积。

解决方案

为了方便描述，我们假设矩阵中的元素值均为正整数。如果矩阵中有元素值为0或负数，那么这些元素对于解决本问题没有任何贡献，可以将它们视为不存在。

贪心思路

在进行翻转操作之前，我们可以先扫描一遍矩阵，记录下矩阵中所有的2 * 2子矩阵，然后按照子矩阵的面积递增的顺序从小到大排序。这样我们就可以先处理面积较小的子矩阵。

对于一个2 * 2的子矩阵，它的所有元素都相等，那么它只有两种可能的形态，即：

a a   或者   a b
a a        b b

其中第一种情况我们可以直接忽略，因为这个子矩阵的面积最小，但是它已经是满足条件的（因为所有的元素都相等），所以我们只需要考虑第二种情况。我们可以先把第一行翻转，使得第一行的两个元素相等，然后再把第一列翻转，使得第二列的两个元素相等。这样我们就得到了4个元素相等的子矩阵：

a a   a a   b b   b b
a a   b b   a a   b b

这种贪心思路的正确性比较显然：我们优先处理面积较小的子矩阵，而对于面积相等的子矩阵，我们尽可能通过翻转操作把它们变成相等的元素。

算法实现

根据上述贪心思路，我们可以设计一个算法来解决这个问题。首先我们需要实现一个函数 get_2x2() 来获取矩阵中所有的2 * 2子矩阵，并按照面积递增的顺序排序。然后我们设计一个函数 flip_to_get_2x2()，这个函数接受一个2 * 2的子矩阵，然后根据上述贪心思路进行翻转操作，返回翻转后得到的所有4个元素相等的2 * 2子矩阵。最后我们可以在矩阵中遍历所有的2 * 2子矩阵，对每个子矩阵调用函数 flip_to_get_2x2()，找到面积最小的符合条件的子矩阵即可。

下面是算法的核心代码：

import sys

def get_2x2(matrix):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    res = []
    for i in range(0, m-1):
        for j in range(0, n-1):
            res.append((i, j, matrix[i][j], matrix[i][j+1], matrix[i+1][j], matrix[i+1][j+1], (matrix[i][j] == matrix[i][j+1] and matrix[i][j] == matrix[i+1][j] and matrix[i][j] == matrix[i+1][j+1])))
    res.sort(key=lambda x: x[6])
    return res

def flip_to_get_2x2(matrix, pos):
    i, j = pos[0], pos[1]
    if matrix[i][j] == matrix[i+1][j+1]:
        return [(i, j, matrix[i][j], matrix[i][j], matrix[i][j], matrix[i][j], True)]
    elif matrix[i][j] == matrix[i][j+1]:
        if matrix[i][j] == matrix[i+1][j]:
            return [(i, j, matrix[i][j], matrix[i][j], matrix[i][j], matrix[i][j], True)]
        elif matrix[i][j+1] == matrix[i+1][j+1]:
            return [(i, j, matrix[i][j], matrix[i][j], matrix[i][j+1], matrix[i][j+1], True)]
        else:
            t = matrix[i][j+1]
            matrix[i][j+1], matrix[i+1][j+1] = matrix[i+1][j+1], matrix[i][j+1]
            return [(i, j, matrix[i][j], matrix[i][j], t, t, False)]
    else:
        if matrix[i][j+1] == matrix[i+1][j]:
            return [(i, j, matrix[i][j+1], matrix[i][j+1], matrix[i][j], matrix[i][j], True)]
        elif matrix[i][j+1] == matrix[i+1][j+1]:
            t = matrix[i][j+1]
            matrix[i][j], matrix[i+1][j] = matrix[i+1][j], matrix[i][j]
            return [(i, j, t, t, matrix[i][j+1], matrix[i][j+1], False)]
        else:
            t = matrix[i][j+1]
            matrix[i][j], matrix[i+1][j] = matrix[i+1][j], matrix[i][j]
            return [(i, j, t, t, matrix[i][j+1], matrix[i][j+1], False)]
    
def get_minimal_area(matrix):
    res = sys.maxsize
    for pos in get_2x2(matrix):
        for t_matrix in flip_to_get_2x2(matrix, pos):
            if t_matrix[6]:
                res = min(res, 1)
            else:
                res = min(res, 2)
    return res

该代码使用Python实现，其中 get_2x2() 函数用于获取所有的2 * 2子矩阵并进行排序，flip_to_get_2x2() 函数用于翻转操作来得到4个元素相等的2 * 2子矩阵，get_minimal_area() 函数是整个算法的入口，它对矩阵中所有的2 * 2子矩阵进行遍历调用 flip_to_get_2x2() 函数，找到符合条件的面积最小的子矩阵，返回其面积即可。

总结

本文介绍了如何通过翻转操作来找到矩阵中所有的2 * 2子矩阵，使得子矩阵中所有的元素相等，并且子矩阵的面积最小。本文的解决方案基于贪心思路，并使用Python语言实现。