数学-不定积分

简介

不定积分是微积分中的一个概念，又称原函数或者求导的逆运算。不定积分是解决微积分中求导的逆运算问题的一种方法，它是一个函数族。

在计算不定积分时，我们可以通过换元法、分部积分、三角函数代换、分式分解等方法，来简化式子求得原函数。

常见的不定积分

以下列出一些经典的不定积分：

| 函数 | 不定积分 | | ---------- | ---------- | | $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | | $ \frac{1}{x} $ | $ \ln|x| + C $ | | $ e^x $ | $ e^x + C $ | | $ \sin{x} $ | $ -\cos{x} + C $ | | $ \cos{x} $ | $ \sin{x} + C $ | | $ \sec^2{x} $ | $ \tan{x} + C $ | | $ \csc^2{x} $ | $ -\cot{x} + C $ | | $ \frac{1}{x^2+1} $ | $ \arctan{x} + C $ | | $ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $ | $ \arcsin{x} + C $ | | $ \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} $ | $ \ln\left|x+\sqrt{x^2+1}\right| + C $ |

其中 C 为常数项。

使用工具

在计算不定积分时，通常可以使用计算器或者数学软件进行求解。

另外，Python 中的 sympy 库也提供了符号计算的功能，可以用来进行不定积分的计算。

import sympy

x = sympy.Symbol('x')
sympy.integrate(x**2 + x - 1, x)
# 结果为 1/3*x**3 + 1/2*x**2 - x

总结

不定积分是微积分中的一个重要概念，有着广泛的应用。在计算不定积分时，我们需要掌握各种方法，并且需要熟练使用相关工具进行计算。