不定积分

这些衍生物几乎在生活的各个方面都非常有用。它们允许找到函数的变化率。有时存在函数的导数可用的情况，目标是计算给出导数的实际函数。在这些情况下，积分开始发挥作用。直观地说，它们是微分过程的逆过程。积分在微积分和现实生活中也有很多应用。它们可用于分析函数、计算不同任意形状的面积和体积。

积分简介

积分也称为反导数。积分是微分的逆过程。不是对函数求微分，而是给定函数的导数，并且需要从导数中计算函数。这个过程称为整合或反分化。考虑一个函数f(x) = sin(x)，如果 f'(x) = cos(x)，这个函数的导数。因此，f'(x) 的积分应该返回函数f(x)。请注意，对于每个函数f(x) = sin (x) + C，导数相同，因为常数在微分后变为零。因此，反导数不是唯一的，对于每一个函数，它的反导数都是无限的。

$\frac{d}{dx}(sin(x) + C) = cos(x)$

这个常数 C 称为任意常数。

新符号用于表示积分$\int$ .这将代表对任何函数的积分操作。下表表示与积分有关的符号和含义。

Symbol/Term/Meaning	Meaning
$\int f(x)dx$	Integral of f with respect to x
f(x) in $\int f(x)dx$	Integrand
x in $\int f(x)dx$	Variable of integration
Integral of f(x)	A function such that F'(x) = f(x)

记住某些公式和规则，可以帮助我们简化计算并快速完成。逆幂规则是帮助我们集成多项式和其他函数的规则之一。

反向功率规则

该规则有助于整合具有 x ⁿ形式的项的函数。

$\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

这里，C 是任意常数，n ≠ 1。

在此规则中，变量的指数增加 1，然后将结果除以新的指数值。下表给出了一些标准函数的积分。

Function	Integral
sin(x)	-cos(x)
cos(x)	sin(x)
ex	ex
sec2(x)	tan(x)
$\frac{1}{x}$	ln(x)

重写积分

有时，当功能变得过于复杂时，很难将它们集成起来。积分的某些性质有助于简化和重写积分。

属性一： $\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$

属性 2： $\int(f(x) \pm g(x))dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$

属性 3： $\int(k_1f_1(x) \pm k_2f_2(x) \pm ....)dx = k_1\int f_1(x)dx \pm k_2\int f_2(x)dx ....$

积分的视觉解释

除了计算积分的常用代数规则。积分可以通过图表来理解。很明显，积分只不过是反导数。考虑一个函数f(x)，假设它是由 F(x) 给出的反导数。在这种情况下，F'(x) = f(x)。将下图视为函数f(x) 的图，这意味着给定函数F(x) 的导数图，目标是确定积分函数F(x)。

该图显示了函数f(x) = 2x，它是一条通过原点的直线。让我们使用上面提到的逆幂规则对给定的函数进行积分。

$\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

$\int 2xdx = 2\frac{x^{2}}{2} + C$

⇒ $\int 2xdx = x^{2} + C$

现在，当这个 C = 0 时，积分方程变为 F(x) = x ² ，它是以原点为中心的抛物线。当 C = 1 时，抛物线向上移动一个单位，同样在 C = -1 时，抛物线向下移动一个单位。

这意味着函数F(x) = x ² + C 表示曲线族。

通过图确定积分

积分可以通过图表粗略确定。积分不过是积分的导数。它们提供有关积分的增加/减少率以及最大值和最小值的信息。让我们考虑一个函数f(x) 的图，

假设，F(x) = $\int f(x)dx$

由于函数的导数为正且递增，函数将以递增的速率递增，函数F(x) 的图形将近似地看起来像一条向上上升的抛物线。下图给出了函数F(x) 的图形的粗略概念。

让我们看一些示例问题

示例问题

问题 1：求给定函数f(x) 的积分，

f(x) = sin(x) + 1

解决方案：

Given f(x) = sin(x) + 1

sin(x) is a standard function, and it’s anti-derivative is known. 

$\int f(x)dx$

⇒$\int (sin(x) + 1)dx$

Using the property 2 mentioned above, 

$\int sin(x)dx + \int 1dx$

⇒$-cos(x) + x + C$

问题 2：求给定函数f(x) 的积分，

f(x) = 2e ^x

解决方案：

Given f(x) = 2e^x 

e^x is a standard function, and it’s anti-derivative is known. 

$\int f(x)dx$

⇒$\int 2e^xdx$

Using the property 1 mentioned above, 

$2\int e^xdx$

⇒2e^x + C

问题 3：求给定函数f(x) 的积分，

f(x) = 5x ^-2

解决方案：

Given f(x) = 5x^-2

Using the reverse power rule

$\int f(x)dx$

⇒$\int 5x^{-2}dx$

Using the property 1 mentioned above, 

$5\int x^{-2}dx$

⇒$\frac{-5}{x} + C$

问题 4：求给定函数f(x) 的积分，

f(x) = sin(x) + 5cos(x)

解决方案：

Given f(x) = sin(x) + 5cos(x)

sin(x) and cos(x) are standard functions, and its integral is known. 

$\int f(x)dx$

⇒$\int (sin(x) + 5cos(x))dx$

Using the properties 1 and 2 mentioned above, 

$\int sin(x)dx + 5\int cos(x)dx$

⇒$-cos(x) + 5sin(x) + C$

问题 5：求给定函数f(x) 的积分，

f(x) = 5x ^-2 + x ⁴ + x

解决方案：

Given f(x) = 5x^-2 + x⁴ + x

Using the reverse power rule

$\int f(x)dx$

⇒$\int (5x{-2} + x^4 + x)dx$

Using the properties 1 and 2 and power rule mentioned above, 

$\int (5x{-2} + x^4 + x)dx$

⇒$5\int x^{-2}dx + \int x^4dx + \int xdx$

⇒$\frac{-5}{x} + \frac{x^5}{5} + \frac{x^2}{2}$

问题6：对于下面给出的函数图，画出积分的粗略图。

解决方案：

The given graph is constant, that y = 5. 

Since this graph is the graph of the derivative of its integral. This means the graph of the integral is constantly increasing. It must be a straight will positive slope.