数学 |不定积分 - 芒果文档

反导——

定义：函数∅(x) 称为函数f(x) 的 ∅(x)’ = f(x) 的反导数(或积分)。

示例： x ⁴ /4 是 x ³的反导数，因为 (x ⁴ /4)’ = x ³ 。

In general, if ∅(x) is antiderivative of a function f(x) and C is a constant.Then,
{∅(x)+C}' = ∅(x) = f(x).

不定积分 –

定义：让 f(x) 是一个函数。那么所有ist反导数的族称为函数f(x)的不定积分，用∫f(x)dx表示。
符号 ∫f(x)dx 读作 f(x) 对 x 的不定积分。
因此 ∫f(x)dx= ∅(x) + C。
因此，找到一个函数的不定积分的过程中被调用的函数的积分。

基本积分公式 –

∫x ⁿ dx = (x ⁿ⁺¹ /(n+1))+C
∫(1/x)dx = (log _e |x|)+C
∫e ^x dx = (e ^x )+C
∫a ^x dx = ((e ^x )/(log _e a))+C
∫sin(x)dx = -cos(x)+C
∫cos(x)dx = sin(x)+C
∫sec ² (x)dx = tan(x)+C
∫cossec ² (x)dx = -cot(x)+C
∫sec(x)tan(x)dx = sec(x)+C
∫cosec(x)cot(x)dx = -cosec(x)+C
∫cot(x)dx = log|sin(x)|+C
∫tan(x)dx = log|sec(x)|+C
∫sec(x)dx = log|sec(x)+tan(x)|+C
∫cosec(x)dx = log|cosec(x)-cot(x)|+C

例子 –

示例 1.计算 ∫x ⁴ dx。

解决方案 –

Using the formula, ∫xndx = (xn+1/(n+1))+C
 ∫x4dx = (x4+1/(4+1))+C 
       = (x5/(5))+C

示例 2.计算 ∫2/(1+cos2x)dx。

解决方案 –

As we know that 1+cos2x = 2cos2x
∫2/(1+cos2x)dx = ∫(2/(2cos2x))dx
               = ∫sec2x
               = tan(x)+C

示例 3.计算 ∫((x ³ -x ² +x-1)/(x-1))dx。
解决方案 –
```
∫((x3-x2+x-1)/(x-1))dx = ∫((x2(x-1)+(x-1))/(x-1))dx
                   = ∫(((x2+1)(x-1))/(x-1))dx
                   = ∫(x2+1)dx
                   = (x3/3)+x+C                  
Using, ∫xndx = (xn+1/(n+1))+C
```
整合方法 –
1. 替换整合：
  - 定义——通过适当的代换将积分简化为标准形式来评估积分的方法称为代换积分。
    如果 f(x) 是一个连续可微函数，则要计算形式的积分
```
∫g(f(x))f(x)dx
```
    我们替换 f(x)=t 和 f(x)’dx=dt。
    这减少了形式的积分
```
∫g(t)dt
```
  - 例子：
    - 示例 1.评估 ∫e ^2x-3 dx
    - 解决方案
      Let 2x-3=t => dx=dt/2 ∫e2x-3dx = (∫etdx)/2 = (∫et)/2 = ((e2x-3)/2)+C
    - 示例 2.计算 ∫sin(ax+b)cos(ax+b)dx
    - 解决方案
      Let ax+b=t => dx=dt/a; ∫sin(ax+b)cos(ax+b)dx = (∫sin(t)cos(t)dt)/a = (∫sin(2t)dt)/2a = -(cos(2t))/4a = (-cos(2ax+2b)/4a)+C
2. 按部件集成：
  - 定理：如果 u 和 v 是 x 的两个函数，则
```
∫(uv)dx = u(∫vdx)-∫(u'∫vdx)dx
```
    其中 u 是 x 的第一个函数，v 是 x 的第二个函数
  - 选择第一个函数：
    我们可以选择第一个函数作为单词ILATE中的第一个函数，其中
    - I – 代表反三角函数。
    - L – 代表对数函数。
    - A – 代表代数函数。
    - T – 代表三角函数。
    - E – 代表指数函数。
  - 例子：
    - 示例 1.评估 ∫xsin(3x)dx
    - 解决方案
      Taking I= x and II = sin(3x) ∫xsin(3x)dx = x(∫sin(3x)dx)-∫((x)'∫sin(3x)dx)dx = x(cos(3x)/(-3))-∫(cos(3x)/(-3))dx = (xcos(3x)/(-3))+(cos(3x)/9)+C
    - 示例 2.评估 ∫xsec ² xdx
    - 解决方案
      Taking I= x and II = sec2x ∫xsin(3x)dx = x(∫sec2xdx)-∫((x)'∫sec2xdx)dx = (xtan(x))-∫(1*tan(x))dx = xtan(x)+log|cos(x)|+C
3. 部分分数积分：
  - 部分分数：
    如果 f(x) 和 g(x) 是两个多项式函数，则 f(x)/g(x) 定义 x 的有理函数。
    如果 f(x) 的度数 < g(x) 的度数，则 f(x)/g(x) 是 x 的一个真有理函数。
    如果 f(x) 的度数 > g(x) 的度数，则 f(x)/g(x) 是 x 的一个不当有理函数。
    如果 f(x)/g(x) 是一个不合适的有理函数，我们将 f(x) 除以 g(x)，这样有理函数可以表示为 ∅(x) + (h(x)/g(x) )). 现在 h(x)/g(x) 是一个适当的有理函数。
    任何真有理函数都可以表示为有理函数之和，每个有理函数都有一个简单的因子 g(x)。每个这样的分数称为部分分数。
  - 部分分数的情况：
    - 情况1。
      当 g(x) = (xa ₁ )(xa ₂ )(xa ₃ )….(xa _n ) 时，我们假设
      f(x)/g(x) = (A1/(x-a1))+(A2/(x-a2))+(A3/(x-a3))+....(An/(x-an))
    - 案例 2。
      当 g(x) = (xa) ^k (xa ₁ )(xa ₂ )(xa ₃ )
      …。(XA _R)，
      那么我们假设
      f(x)/g(x) = (A1/(x-a)1)+(A2/(x-a)2)+(A3/(x-a)3) +....(Ak/(x-a)k)+(B1/(x-a1))+(B2/(x-a2))+(B3/(x-a3)) +....(Br/(x-ar))
  - 例子：
    - 示例 1. ∫(x-1)/((x+1)(x-2))dx
    - 解决方案
      Let (x-1)/((x+1)(x-2))= (A/(x+1))+(B/(x-2)) => x-1 = A(x-2)+B(x+1)
      令 x-2 = 0，我们得到
      B = 1/3
      让 x+1 = 0，我们得到
      A = 2/3
      代入 A 和 B 的值，我们得到
      (x-1)/((x+1)(x-2))= ((2/3)/(x+1))+((1/3)/(x-2)) ∫((2/3)/(x+1))+((1/3)/(x-2))dx = ((2/3)∫(1/(x+1))dx)+((1/3)∫(1/(x-2))dx) = ((2/3)log|x+1|)+((1/3)log|x-2|)+C
    - 示例 2. ∫(cos(x))/((2+sin(x))(3+4sin(x)))dx
    - 解决方案
      Let I = ∫(cos(x))/((2+sin(x))(3+4sin(x)))dx
      将 sin(x) = t 和 cos(x)dx = dt，我们得到
      I = ∫dt/((2+t)(3+4t)) Let 1/((2+t)(3+4t))= (A/(2+t))+(B/(3+4t)) => 1 = A(3+4t)+B(2+t)
      将 3+4t = 0，我们得到
      B = 4/5
      设 2+t = 0，我们得到
      A = -1/5
      代入 A 和 B 的值，我们得到
      1/((2+t)(3+4t)) = ((-1/5)/(2+t))+((4/5)/(3+4t)) I = (∫((-1/5)/(2+t))dt)+(∫((4/5)/(3+4t))dt) = ((-1/5)log|2+t|)+((1/5)log|3+4t|)+C = ((-1/5)log|2+sin(x)|)+((1/5)log|3+4sin(x)|)+C