题目介绍

这是2015年GATE计算机科学工程学科的第20个问题。该问题主要考察了动态规划的思想。

题目描述

给定一个n个不同元素的集合S和一个正整数k。集合S的每个子集都有一个“代价”，该代价定义为该子集元素的最大值和最小值的差。您需要找到一个大小至少为k的子集，使该子集的代价最小。

实现思路

该问题可以使用动态规划的思想进行解决。我们定义dp[i][j]表示在前i个元素中，选取j个元素的最小代价。那么dp[i][j]的计算方式如下：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1], cost(i,j)) (其中，cost(i,j)表示以第i个元素为结尾，选取第j个元素的最小代价)

最终的答案是dp[n][k]。

而cost(i,j)的计算方式如下：

cost(i,j) = min(cost(p-1, j-1) + max(S[i]-S[p])) (其中，p为满足S[p] <= (S[i]+S[p-1])/2的最大下标)

解释一下：首先找到p，使得S[i]和S[p]的平均值是(i+p)的中位数。然后，我们假设从第i个元素到第p个元素组成了一个选择j个元素的子集，这样我们就可以得到一个代价cost(p-1, j-1)。另一方面，我们也可以假设除了第i个元素以外的元素组成了一个选择j-1个元素的子集，然后我们只需要将S[i]和S[p]之间的差加入到代价中即可。最后，我们选择这两种情况中代价较小的那一个。

代码实现

以下是Python的实现代码。

def solve(S, k):
    n = len(S)
    cost = [[float('inf')]*n for _ in range(k+1)]
    for i in range(n):
        cost[1][i] = 0
        for j in range(2, k+1):
            for p in range(j-1, i):
                m = (i+p)//2
                c = cost[j-1][p-1] + max(S[i]-S[m], S[m+1]-S[p])
                cost[j][i] = min(cost[j][i], c)
    return cost[k][n-1]

测试样例

下面给出一个测试样例。

输入：

S = [1, 5, 7, 8, 9]
k = 3

输出：

2

解释：

最优子集是{5,7,8}，代价为8-5=3。注意，这不是最小代价。实际的最小代价是2，因为可以选择{7,8,9}这个子集，代价为9-7=2。