门 | GATE-CS-2016(Set 2)|问题20

这是GATE-CS-2016(Set 2)问题20的解答，问题涉及到基于门的电路（digital circuits）实现计算。

问题描述

考虑以下基于门（digital circuits）的电路，其中AND、OR、NOT门的数量分别为3，4和2：

输入A、B、C、D各自为0或1。输出X和Y分别表示以下两个布尔表达式的求值结果：

X = (!ABC) + (!ABD) + (A*!B*C)

Y = (ABC) + (!A*!BC) + (!AB*D)

使用传统的布尔代数技术，化简这两个表达式并且将最简化结果表示为SUM OF PRODUCTS (SOP) 形式。

问题解答

X的SOP表达式

根据给定的布尔表达式X，我们知道：

X = (!ABC) + (!ABD) + (A*!B*C)

我们可以使用下面的Karnaugh图来对X进行简化：

| CD\AB | 00 | 01 | 11 | 10 | |------|----|----|----|----| | 00 | 0 | 0 | 0 | 0 | | 01 | 1 | 0 | 1 | 0 | | 11 | 1 | 0 | 0 | 0 | | 10 | 0 | 0 | 0 | 0 |

因此，我们可以发现X的SOP表达式为：

X = C!A + DB!A + ABC

Y的SOP表达式

同样地，对于给定的布尔表达式Y，我们知道：

Y = (ABC) + (!A*!BC) + (!AB*D)

我们可以使用下面的Karnaugh图来对Y进行简化：

| CD\AB | 00 | 01 | 11 | 10 | |------|----|----|----|----| | 00 | 0 | 1 | 0 | 0 | | 01 | 0 | 0 | 1 | 0 | | 11 | 0 | 0 | 0 | 0 | | 10 | 0 | 0 | 1 | 0 |

因此，我们可以发现Y的SOP表达式为：

Y = AC!B + AC!A + B!A!C

总结

在本问题中，我们通过Karnaugh图的方法来求得两个布尔表达式的SOP形式。这种方法在设计基于门的电路时非常有用。