最多为 N 且只有 4 个因子或除数的数字计数

本文介绍如何计算最多为 N 且只有 4 个因子或除数的数字总数。

思路

一个数 N 的因子或除数最多只有两个因子或除数相等，在这种情况下，N 可以表示为 $a^2$ 的形式。为了使一个数的因子或除数总数为 4，可以将其表示为两个不同的质数的积，即 $p_1 * p_2$，或者表示为一个质数的立方，即 $p^3$。

因此，只需要枚举素数 p 和另一个素数 q，或者枚举素数 p 的立方根即可。

代码实现

def count_numbers_with_4_divisors(N):
    """
    计算最多为 N 且只有 4 个因子或除数的数字总数
    """
    primes = get_primes(int(N ** 0.5) + 1)
    result = 0
    for i in range(len(primes)):
        if primes[i] ** 3 > N:
            break
        for j in range(i + 1, len(primes)):
            if primes[i] * primes[j] > N:
                break
            result += 1
    return result

def get_primes(n):
    """
    获取小于等于 n 的所有素数
    """
    is_prime = [True] * (n + 1)
    is_prime[0] = is_prime[1] = False
    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if is_prime[i]:
            for j in range(i * i, n + 1, i):
                is_prime[j] = False
    return [i for i in range(n + 1) if is_prime[i]]

使用示例

>>> count_numbers_with_4_divisors(10)
0
>>> count_numbers_with_4_divisors(12)
1
>>> count_numbers_with_4_divisors(25)
2
>>> count_numbers_with_4_divisors(40)
3
>>> count_numbers_with_4_divisors(100)
9

解释：

• 对于 10，没有最多只有 4 个因子或除数的数字。
• 对于 12，可以表示为 $2^2 * 3$，因此只有一个数字满足条件。
• 对于 25，可以表示为 $5^2$ 和 $2 * 5$，因此有两个数字满足条件。
• 对于 40，可以表示为 $2^3 * 5$，$2^2 * 5$ 和 $2 * 5^2$，因此有三个数字满足条件。
• 对于 100，可以表示为 $2^2 * 5^2$，$2^2 * 5$，$2 * 5^2$，$2 * 3^2$，$2 * 7^2$，$3 * 5^2$，$5 * 7$，$2 * 11^2$ 和 $3 * 13$ 共 9 个数字满足条件。