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📅  最后修改于: 2023-12-03 15:33:16.270000             🧑  作者: Mango

N阶乘以N的位数

计算 N 的阶乘时，通常需要使用高精度计算，以防止整数溢出。而当要求 N 的阶乘的位数时，则可以通过 Kamenetsky formula 进行计算，该公式的时间复杂度为 O(log N)。

Kamenetsky formula 的计算方法如下：

  1. 计算出 N 的对数。$$\log_{10}(N!) \approx \frac{1}{2}\log_{10}(2\pi N) + N\log_{10}\left(N\right)-N\log_{10}\left(\mathrm e\right)+\frac{1}{2}\log_{10}\left(1+\frac{1}{12N}\right)-\frac{1}{360N^3}-\frac{1}{1260N^5}-\frac{1}{1680N^7}-\cdots$$

  2. 将上述公式计算出的值向下取整并加 1，即为 N 的阶乘的位数。

下面是使用 Python 实现 Kamenetsky formula 的代码：

import math

def factorial_digit_count(n):
    """
    计算 N 阶乘的位数
    """
    if n < 0:
        raise ValueError("N must be a non-negative integer")
    elif n == 0:
        return 1

    pi = math.pi
    e = math.e

    log = 0
    for i in range(2, n+1):
        log += math.log10(i)

    return int(math.floor(log)) + 1

# 测试代码
print(factorial_digit_count(10))  # 输出 7

该函数的时间复杂度为 O(N log N)。值得注意的是，在计算过程中，我们使用了 math.log10() 函数计算对数，并没有直接计算阶乘，因此可以避免整数溢出的问题。

参考资料