最大化从给定矩阵的左上角和右上角到达最底行的成本

这是一个问题，要求从给定矩阵的左上角或右上角出发，走到最底行的任意一个位置，使得经过的所有元素之和最大。下面是解决该问题的一种动态规划算法。

算法

首先，我们定义一个二维数组 $dp$，其中 $dp[i][j]$ 表示从点 $(i,j)$ 出发到达最底行的最大成本。

接下来，我们从最后一行开始向上递推。对于第 $i$ 行，第 $j$ 列的元素，有两个选择：

• 向左下方移动到 $(i+1,j-1)$，成本为 $dp[i+1][j-1]$ 并加上当前元素的值 $matrix[i][j]$。
• 向右下方移动到 $(i+1,j+1)$，成本为 $dp[i+1][j+1]$ 并加上当前元素的值 $matrix[i][j]$。

我们需要选择其中成本更高的一个，作为到达最底行从该点出发的最大成本：

$$ dp[i][j] = matrix[i][j] + \max(dp[i+1][j-1], dp[i+1][j+1]) $$

最后，我们只需要从第一行的两个端点 $(0,0)$ 和 $(0,n-1)$ 出发，分别得到两个最大成本 $ans1$ 和 $ans2$，然后取其中更大的一个作为到达最底行的最大成本：

$$ ans = \max(dp[0][0], dp[0][n-1]) $$

代码片段

下面是使用 Python 语言实现上述算法的代码片段：

def max_cost(matrix):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    dp = [[0] * n for _ in range(m)]
    for j in range(n):
        dp[-1][j] = matrix[-1][j]
    for i in range(m-2, -1, -1):
        for j in range(n):
            if j > 0:
                dp[i][j] = matrix[i][j] + max(dp[i+1][j-1], dp[i][j-1])
            if j < n-1:
                dp[i][n-j-1] = matrix[i][n-j-1] + max(dp[i+1][n-j], dp[i][n-j-1])
    ans1 = matrix[0][0] + max(dp[1][0], dp[0][1])
    ans2 = matrix[0][n-1] + max(dp[1][n-1], dp[0][n-2])
    return max(ans1, ans2)

以上是该算法的完整实现。在实际使用中，我们需要将其作为一个函数调用，并将矩阵作为参数传递给该函数，以得到最大成本 $ans$。