完成至少 K 个任务的最短时间算法

问题描述

假设有 $n$ 个任务需要完成，$m$ 个人可以协同工作。每个任务需要一个固定的时间完成，每个人完成任务的时间相同。完成一个任务后，每个人需要休息一段时间才能再次开始工作。现在给定每个任务完成所需的时间和每个人的休息时间，请问至少需要多长时间才能完成至少 $K$ 个任务？

算法思路

我们可以使用二分答案法来解决这个问题。将答案的可能范围限制在 $[0,\infty)$ 的实数上，然后每次猜一个答案 $t$，判断是否存在至少 $K$ 个任务在 $t$ 时间内可以完成。如果存在，则继续尝试更小的答案，否则尝试更大的答案。直到找到最小的答案为止。

具体实现时，我们可以使用贪心算法。首先按照任务完成时间从小到大排序，然后依次将每个任务分配给当前完成时间最短的一个人。如果当前时间已经超过了答案 $t$，则说明无法完成至少 $K$ 个任务，否则继续分配任务。当分配完所有任务后，统计完成的任务数即可。

算法实现

下面是一个简单的 Python 实现，时间复杂度为 $O(n\log n\log T)$，其中 $T$ 是答案的上界。

def solve(T, K, times, rest):
    n, m = len(times), len(rest)
    tasks = sorted(times)
    cur_time = [0] * m

    for task_time in tasks:
        best_worker = -1
        for i in range(m):
            if cur_time[i] + task_time <= T and (best_worker == -1 or cur_time[i] < cur_time[best_worker]):
                best_worker = i
        if best_worker == -1:
            return False
        cur_time[best_worker] += task_time + rest[best_worker]

    return len(tasks) - sum(cur_time[i] < T for i in range(m)) >= K

输入参数和输出格式均如下所示：

def min_time_to_complete_K_tasks(K: int, times: List[int], rest: List[int]) -> int:
    low, high = 0, 10**7
    while low < high:
        mid = (low + high) // 2
        if solve(mid, K, times, rest):
            high = mid
        else:
            low = mid + 1
    return low

其中，输入参数：

• K：至少需要完成的任务数。
• times：一个长度为 $n$ 的数组，表示每个任务完成所需的时间。
• rest：一个长度为 $m$ 的数组，表示每个人完成一个任务后需要休息的时间。

输出结果：

• 函数返回一个整数，表示完成至少 $K$ 个任务的最短时间。