环形道路上不同的会合点数算法介绍

问题描述

给定一个环形道路，上面有 $n$ 个点，编号为 $0\sim n-1$，其中相邻两个点之间有道路相连。现在有 $m$ 辆车在这个道路上行驶，它们的初始位置不同且速度相同，即每秒钟都会走过相同的距离 $1$。如果某两辆车在某个时刻同时到达某个位置，则它们会发生会合。求在该环形道路上，这 $m$ 辆车最多会发生多少次会合。

解决思路

对于每一辆车，我们都可以计算出它在 $n$ 秒内所能到达的位置，从而得到一个能够和其他车相遇的范围。我们只需要将这些范围进行交集运算，即可得到所有车的会合点数。

具体实现方法为：我们将每个车的位置 $p_i$ 和编号 $i$ 放入一个元组中，将所有元组按照位置从小到大排序，然后将第 $m$ 个元组重复插入一遍，使得原序列形成一个长度为 $2m-1$ 的循环链表。接下来，我们可以使用双指针法得出每个车所在的范围，并对这些范围进行交集计算。最后，交集的大小就是所有车的最多会合点数。

时间复杂度

该算法的时间复杂度为 $O(m\log m+m)$。

实现代码

def max_meeting_points(n: int, m: int, positions: List[int]) -> int:
    # 将每个车的位置和编号组成元组
    tuples = [(i, p) for i, p in enumerate(positions)]
    # 将元组按照位置从小到大排序
    tuples.sort(key=lambda x: x[1])
    # 将第 m 个车的元组插入到队列末尾，形成一个长度为 2m-1 的循环链表
    tuples += [(i + m, p + n) for i, (i, p) in enumerate(tuples)]
    # 双指针法找到每个车的在 n 秒内所能到达的位置范围
    left, count, max_count = 0, 1, 1
    for right in range(1, len(tuples)):
        # 如果右指针所指向的位置已经超出当前车的可到达范围，则更新左指针
        while tuples[right][1] - tuples[left][1] > n:
            left += 1
            count -= 1
        # 更新最大相遇次数并增加右指针
        if count > max_count:
            max_count = count
        count += 1
    return max_count

以上就是环形道路上不同的会合点数算法的解决思路和实现代码。