GATE-CS-2015(Set 3) 第49章介绍

本文为GATE-CS-2015(Set 3)考试的第49道题的介绍。

题目详情

考虑一个有向图 G，其中每个节点都有一个非负整数的权值 w[i]。第 i 条边的权值为 x[i]。给定两个节点 s 和 t，我们想要找到一条从节点 s 到节点 t 的路径，使得路径上边的权值的 乘积 最大。路径中不能有重复的节点。

编写一个程序，该程序将根据给定的权值，边权和源和终点节点的信息，找到从节点 s 到节点 t 的路径，使得路径上边的权值的乘积最大，并返回路径上边的权值乘积。

解题思路

首先，可以看出本题是一个最大加权路径的问题。

在最大加权路径问题中，我们需要找到一条路径，使得其边权之和最大。不同于最短路径问题，最大加权路径问题不一定是简单路径。

我们可以使用Dijkstra算法或Bellman-Ford算法来解决最大加权路径问题。然而，在本题中，我们需要求的是边权的乘积，而不是权值之和。因此，我们需要对算法进行一些调整。

具体来说，我们可以使用对数来代替乘积运算。因为对数具有具有加法的性质，我们可以使用最短路径算法来计算对数权值的加权路径。最终，我们可以通过对结果取指数来恢复乘积的值。

代码实现

以下是一个Python实现。它使用Dijkstra算法来计算对数权值的最大加权路径。

import heapq
import math

def maximum_weighted_path(G, s, t):
    n = len(G)
    dist = [-math.inf] * n
    dist[s] = 0
    heap = [(0, s)]
    visited = [False] * n
    while heap:
        (d, u) = heapq.heappop(heap)
        if visited[u]:
            continue
        visited[u] = True
        for v in range(n):
            if G[u][v] is not None:
                w = math.log(G[u][v])
                if dist[u] + w > dist[v]:
                    dist[v] = dist[u] + w
                    heapq.heappush(heap, (dist[v], v))
    return math.exp(dist[t]) if dist[t] > -math.inf else 0

总结

本题考察了对最大加权路径问题的理解，以及如何将对数代替乘积来解决最大加权路径问题。实现上，我们使用了Dijkstra算法和Python的标准库。