矩阵中的最大异或值

介绍

给定一个矩阵，你需要找到其中最大的异或和。矩阵中的每个元素都是非负整数。

异或和：将两个二进制数对应位上的数字进行异或运算，得到的数就是异或和。例如，3（二进制为11）和 5（二进制为101）的异或和为 6（二进制为110）。

解题思路

Brute Force （暴力枚举）

考虑最朴素的做法：枚举矩阵中的每一个子矩阵，对每个子矩阵计算异或和，找到其中的最大值。显然，时间复杂度为 $O(n^6)$（枚举两个起点和两个终点）。

优化

考虑优化暴力枚举，采用类似前缀和的思想。我们可以预处理一个前缀异或和矩阵，对于任意子矩阵，可以通过前缀异或和快速计算其异或和。具体来说，设 $x_{i,j}$ 表示以 $(i,j)$ 为右下角的子矩阵的异或和，则有：

$$x_{i,j} = x_{i-1,j} \oplus x_{i,j-1} \oplus x_{i-1,j-1} \oplus a_{i,j}$$

其中 $a_{i,j}$ 表示原矩阵中位置为 $(i,j)$ 的数。这一式可以通过简单的推导得出。（注意，这里的下标从1开始，可以和题目描述中的下标无缝对接）

计算前缀异或和矩阵的时间复杂度为 $O(n^2)$，而对于每个子矩阵的计算时间复杂度为 $O(1)$，总时间复杂度为 $O(n^4)$。

代码如下：

def max_xor(matrix):
    n = len(matrix)
    m = len(matrix[0])
    pre_xor = [[0] * (m+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, m+1):
            pre_xor[i][j] = pre_xor[i-1][j] ^ pre_xor[i][j-1] ^ pre_xor[i-1][j-1] ^ matrix[i-1][j-1]
    
    res = 0
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, m+1):
            for x in range(i, n+1):
                for y in range(j, m+1):
                    cur_xor = pre_xor[x][y] ^ pre_xor[x][j-1] ^ pre_xor[i-1][y] ^ pre_xor[i-1][j-1]
                    res = max(res, cur_xor)
    return res

代码片段已按markdown标明，可直接复制粘贴使用。

总结

本题目的主要思路是通过前缀异或和的方式将矩阵中的异或和计算转化为简单的几何计算问题。时间复杂度为 $O(n^4)$，虽然没有到达极致，但也已经足够通过本题。同时，本题目也体现了将问题转化为其他问题的一般思路，类似的思路在日常的开发中也有着重要的应用。