使用 BFS 的水壶问题

水壶问题是经典的数学难题，也是许多算法和数据结构的实践题。水壶问题的最基本形式是：给出两个没有刻度的水壶，一个容积是 $x$ 升，一个容积是 $y$ 升，问我们如何在它们之间倒水和倒掉水的操作下，得到特定的体积 $z$ 升。

使用 BFS (Breadth-First Search) 算法可以很好的解决水壶问题。具体的算法实现可以分为以下几个步骤：

1. 掌握水壶操作的基本规则：

   • 倒空任意一个水壶；
   • 把一个水壶倒满；
   • 把一个水壶向另一个水壶倒水，倒满或倒空；

2. 实现状态编码：

   • 水壶的状态可以用一个二元组 $(x, y)$ 表示，其中 $x$ 表示第一个水壶中的水量，$y$ 表示第二个水壶中的水量；
   • 每次操作后都会得到一个新的状态 $(x', y')$；
   • 我们可以用一个字典来保存每个状态是否已经被遍历过了。

3. 实现 BFS 遍历：

   • 从初始状态 $(0, 0)$ 开始遍历；
   • 在遍历中逐步按照操作规则进行水壶操作，得到新的状态；
   • 判断新状态是否已经被遍历过了，若已经被遍历过了，则跳过，否则将其加入到队列中；
   • 重复以上步骤，直到找到目标状态。

下面是 Python 代码实现：

from collections import deque

def canMeasureWater(x: int, y: int, z: int) -> bool:
    if x + y < z:
        return False
    if z == 0:
        return True

    visited = set()
    q = deque([(0, 0)])
    while q:
        cur_x, cur_y = q.popleft()
        if cur_x + cur_y == z:
            return True
        if (cur_x, cur_y) in visited:
            continue
        visited.add((cur_x, cur_y))

        # 把第一个水壶灌满
        q.append((x, cur_y))
        # 把第二个水壶灌满
        q.append((cur_x, y))
        # 把第一个水壶倒空
        q.append((0, cur_y))
        # 把第二个水壶倒空
        q.append((cur_x, 0))
        # 把第一个水壶向第二个水壶倒水
        diff = y - cur_y
        if cur_x > diff:
            q.append((cur_x - diff, y))
        else:
            q.append((0, cur_x + cur_y))
        # 把第二个水壶向第一个水壶倒水
        diff = x - cur_x
        if cur_y > diff:
            q.append((x, cur_y - diff))
        else:
            q.append((cur_x + cur_y, 0))

    return False

以上代码中，我们定义了一个 canMeasureWater 函数，它接收三个参数 x、y 和 z，分别代表两个水壶的容量和目标装水量。在函数中，我们首先判断目标装水量是否合理，然后定义了一个字典 visited 和一个队列 q，用于保存已访问的状态和待遍历的状态。

在 BFS 遍历中，我们先从队列中取出一个状态，然后按规则对该状态进行操作，得到新状态，并判断是否已访问。如果新状态未访问，则将其加入到队列中，直到找到目标状态或队列为空。

这种使用 BFS 的方法可以适用于复杂的水壶问题，例如两个水壶容量不相等，或有多个水壶等情况。