将 N 减少到 0 所需的最少操作数

问题描述

给定一个正整数 N，你需要执行以下操作直到减少到0：

1. 如果 N 是偶数，将 N 除以 2。
2. 如果 N 是奇数，将 N 减去 1。

每次操作将 N 减少一个单位，求将 N 减少到 0 所需的最少操作数。

解法

我们可以使用递归的方式来解决此问题。观察上述操作，我们可以发现每个数字会经历两种情况，要么除以 2，要么减去 1。所以我们可以将每一步操作写成一棵树，每个节点包含当前数字和操作的次数。我们从根节点开始执行操作，得到两个子节点：一个是当前数字除以 2 的结果，一个是当前数字减去 1 的结果。我们接着在这两个子节点上分别执行上述操作，直到数字变成 0。

我们需要找到最少操作的路径。我们可以使用深度优先搜索遍历整个树，并寻找从根节点到叶子节点的最短路径。这条路径上的节点数量即为我们要求的最少操作数。

具体来说，我们可以使用递归函数来实现深度优先搜索。每次遍历到一个节点，我们需要考虑以下两种情况：

1. 如果当前数字已经是 0，我们已经到达了一个叶子节点，返回操作数为 0。
2. 如果当前数字不为 0，我们需要继续向下遍历。我们分别对当前数字除以 2 和减去 1 两种操作生成两个节点，并分别计算它们到叶子节点的最短距离。我们需要在这两个结果中取一个较小值，然后将结果加上 1 （当前节点的操作数），即为当前节点的最小操作数。

我们在遍历完整个树之后，所得到的最小操作数即为答案。

代码实现

def cal_min_steps(n: int) -> int:
    if n == 0:
        return 0
    if n % 2 == 0:
        return cal_min_steps(n // 2) + 1
    else:
        return min(cal_min_steps(n + 1), cal_min_steps(n - 1)) + 1

复杂度分析

我们的算法需要遍历整个搜索树，并计算每个叶子节点到根节点的路径长度，因此时间复杂度为 $O(2^N)$，其中 N 是输入数字的位数。在最坏的情况下，我们需要遍历整棵二叉树。

空间复杂度也是非常高的，因为我们需要维护整条路径上的所有节点，所以空间复杂度为 $O(N)$，其中 N 是输入数字的位数。