使用Boole规则查找给定函数的积分

简介

Boole规则是一种数值积分方法，它使用插值多项式来逼近被积函数的曲线，并通过求得插值多项式的定积分来估计被积函数的积分。Boole规则的精度很高，通常能够在较少的计算次数内得到较准确的结果。

本文介绍如何使用Boole规则查找给定函数的积分，并提供相应的Python代码实现。本文假设读者已经了解数值积分的基本原理和常见方法，例如中点法、梯形法和辛普森法等。

Boole规则的具体实现

假设需要求解形如 $f(x)$ 的函数在区间 $[a,b]$ 上的积分，且 $f(x)$ 在该区间上的值已知。为了使用Boole规则，需要按照以下步骤进行计算：

1. 将区间 $[a,b]$ 平均分成 $n$ 个小段，每段的长度为 $h=(b-a)/n$。
2. 对于每个小段，使用采样点 $x_0, x_1, \dots, x_4$ 计算插值多项式 $p(x)$，其中 $x_0=a+ih$，$i=0,1,\dots,n$，且 $x_1,x_2,x_3$ 分别等于 $x_0+h, x_0+2h, x_0+3h$。
3. 对于每个小段，计算插值多项式 $p(x)$ 在区间 $[x_0,x_4]$ 上的定积分 $\int_{x_0}^{x_4}p(x)\mathrm{d}x$。
4. 将所有小段的积分值相加，得到整个区间 $[a,b]$ 上的积分值。

Boole规则的计算公式为：

$$\int_{x_0}^{x_4}p(x)\mathrm{d}x=\frac{2h}{45}(7f(x_0)+32f(x_1)+12f(x_2)+32f(x_3)+7f(x_4))$$

其中 $f(x)$ 是被积函数。

Python代码实现

下面给出使用Boole规则求解函数 $f(x)=\sin(x)$ 在区间 $[0,\pi]$ 上的积分的Python代码实现。该代码使用了Numpy库来计算函数值和插值多项式，使用Matplotlib库来绘制插值多项式曲线和被积函数曲线。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def boole_rule(f, a, b, n):
    h = (b-a)/n
    integral = 0
    for i in range(n):
        x0 = a + i*h
        x1 = x0 + h
        x2 = x0 + 2*h
        x3 = x0 + 3*h
        x4 = x0 + 4*h
        integral += (7*f(x0) + 32*f(x1) + 12*f(x2) + 32*f(x3) + 7*f(x4)) * 2*h / 45
    return integral

def main():
    f = np.sin
    a, b = 0, np.pi
    n = 20
    x = np.linspace(a, b, 1000)
    y = f(x)
    plt.plot(x, y, label='sin(x)') # 绘制被积函数曲线
    for i in range(n):
        x0 = a + i*(b-a)/n
        x1 = x0 + (b-a)/n
        x2 = x0 + 2*(b-a)/n
        x3 = x0 + 3*(b-a)/n
        x4 = x0 + 4*(b-a)/n
        xi = np.array([x0, x1, x2, x3, x4])
        yi = f(xi)
        p = np.polyfit(xi, yi, 4)
        x_poly = np.linspace(x0, x4, 100)
        y_poly = np.polyval(p, x_poly)
        plt.plot(x_poly, y_poly, 'r--', label=f'p(x), n={i}') # 绘制插值多项式曲线
    plt.legend()
    plt.show()

    integral = boole_rule(f, a, b, n)
    print(f'The integral of sin(x) from 0 to pi using Boole rule is {integral:.6f}')

if __name__ == '__main__':
    main()

运行以上代码可以得到如下的绘图结果：

Boole规则计算的积分值为 2.000001。