定积分

通常，直到现在为止，积分都是根据变量评估为函数或代数表达式的。定积分的计算结果是一个常数，它们为我们提供了独特的价值。直观地确定的积分表示从一个位置到另一个位置的曲线下的面积。在评估积分之前将这些位置声明为积分的极限。

定积分给出这两点之间的面积

现在让我们正式定义定积分，

定积分

定积分表示为$\int^{b}_{a}f(x)dx$ 。在这里，“ a”和“ b”是积分的极限。 “ a”称为积分的上限，“ b”称为下限。

可以将定积分引入为和的极限，或者如果它在区间[a，b]中具有反导数，则其值就是端点F的值之间的差，即F(b)– F A)。

评估定积分

在图上提到的限制(例如，[a，b])内找到由任何函数的图包围的区域称为评估定积分。在定积分中，限制从a到b。

$\int_{a}^{b}f(x)=F[a]-F[b]$

It is equal to the area in figure above x-axis and below y-axis.

问题1：对定积分进行积分， $\int_{2}^{3}x^3dx$

解决方案：

Integrating, $\int_{2}^{3}x^3dx=[\frac{x^4}{4}]_{2}^{3}\\=20.25-4=16.25$

问题2：评估， $\int_{0}^{\pi/2}cosx dx$

解决方案：

$\int_{0}^{\pi/2}cosx dx= [sinx]_{0}^{\pi/2}\\(sin\pi/2)-(sin0)=1-0=1$

定积分作为和的极限

假设ƒ是一个连续函数，并且在区间[a，b]上为正。因此，其图形在x轴上方。

The definite integral $\int^{b}_{a}f(x)dx$ is the area bounded by the curve y = f(x), the ordinates x = a and x = b and x-axis. 

要评估该区域，请考虑下图中的PQRSTP区域：

令P为x = a，T为x = b。将区间[a，b]分为n个相等的子区间，分别由[x ₀ ，x ₁ ]，[x ₁ ，x ₂ ]，[x ₂ ，x ₃ ]…。[x _r-1 ，x _r ]…表示。 。[x _n-1 ，x _n ]，其中x ₀ = a，x ₁ = a + h，x ₂ = a + 2h…。并且x _n = a + nh或n = $\frac{b-a}{h}$ 。由于n⇢∞，h⇢0。

所考虑的区域PRSQP是n个子区域的总和，其中每个子区域都在子间隔[x _{r – 1} ，x _r ]，r = 1，2，3，…，n上定义。

从上图可以看出

矩形的面积(ABLC)<区域的面积(ABDCA)<矩形的面积(ABDM)

当x _r – x _r–1 →0，即h→0时，图中所示的所有三个区域几乎彼此相等。现在，我们得出以下总和，

$s_{n} = h[f(x_{0}) + .... + f(x_{n})] = h\sum^{n-1}_{r=0}f(x_{r}) \\ S_{n} = h[f(x_{1}) + .... + f(x_{n})] = h\sum^{n}_{r=1}f(x_{r})$

s _n和S _n表示在r = 1、2、3，…的子区间[x _r-1 ，x _r ]上凸起的所有下部矩形和上部矩形的面积之和。分别。

随着n→∞条带越来越窄，(2)和(3)的极限值在两种情况下都相同，并且共同极限值是曲线下的所需面积。

所以，

$\lim_{n \to \infty}s_{n} = lim_{n \to \infty}S_{n} = \text{area of the region PQRSTP} = \int^{b}_{a}f(x)$

现在，该等式也可以重写为

$\int^{b}_{a}f(x) = \lim_{h \to 0}[f(x) + f(a + h) + f(a + 2h) + f(a + 3h) ......f(a + (n-1)h)] \\$

where, $h = \frac{b-a}{n} \to 0 \text{ as } n \to \infty$

This expression is knows as definition of definite integral as limit of sum. 

问题1：查找$\int^{2}_{0}(x^{2} + 1)dx$作为总和的极限。

解决方案：

By the definition given above, 

$\int^{b}_{a}f(x) = \lim_{h \to 0}[f(x) + f(a + h) + f(a + 2h) + f(a + 3h) ......f(a + (n-1)h)]$ where $h = \frac{b-a}{n} \to 0 \text{ as } n \to \infty$

Here, a = 0 and b =2, f(x) = x² + 1, h = $\frac{2 - 0}{n} = \frac{2}{n}$

$\int^{2}_{0}(x^{2} + 1) = 2\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}[f(0) + f(\frac{2}{n}) + f(\frac{4}{n}) + ......f(\frac{2(n-1)}{n})] \\ = 2\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}[1 + (\frac{2}{n}^{2} + 1) + \frac{4}{n}^{2} + 1 + ......\frac{2(n-1)}{n}^{2} + 1] \\ = 2\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}[\underbrace{(1 + 1+ .... 1)}_\text{n terms} + \frac{1}{n^{2}}(2^{2} + 4^{2} + ..... (2n - 2)^{2}] \\ = 2\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}[n + \frac{4}{n^{2}}(1^{2} + 2^{2} + .... (n-1)^{2}] \\ = 2\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}[n + \frac{4}{n^{2}}\frac{((n-1)n(2n-1)}{6}] \\ \text{evaluating the limit} = \frac{14}{3}$

问题2：整合$\int_{0}^{2}e^xdx$

解决方案：

$\int_{0}^{2}e^xdx=(2-0)lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}[e^0+e^\frac{2}{n}+e^\frac{4}{n}+....+e^\frac{2n-2}{n}$

Applying G.P, a=1. r=e^2/n, we will get,

$\int_{0}^{2}e^xdx=(2)lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}[\frac{e^\frac{2n}{n}-1}{e^\frac{2}{n}-1}]\\2lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}[\frac{e^2-1}{e^\frac{2}{n}-1}$

Using,$lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}=1$

$\int_{0}^{2}e^xdx=e^2-1$

问题3：评估$\int_{-1}^{2}5^xdx$

解决方案：

a=-1, b=2, f(x)=5^x

h=(b-a)/n=3/n, nh=3

By definition: $\int^{b}_{a}f(x) = \lim_{h \to 0}[f(x) + f(a + h) + f(a + 2h) + f(a + 3h) ......f(a + (n-1)h)] \\$

$\int_{-1}^{2}5^xdx=\lim_{h\to0}h[f(-1)+f(-1+h)+f(-2+h)+.....f(-1+(n-1)h)]\\\lim_{h\to0}h[5^{-1}+5^{-1}.5^h+.....5^{-1}.5^{(n-1)h}\\\lim_{h\to0}h[\frac{5^-1.(5^{nh}-1)}{5^h-1}]\\\lim_{h\to0}\frac{h}{5^h-1}5^{-1}(5^3-1)$

$\frac{1}{log5}[5^2-\frac{1}{5}]=\frac{124}{5log5}$

定积分的性质

特性1：该特性表明极限在带负号的定积分上可以互换。

$\int_{a}^{b}f(x)dx=- \int_{b}^{a}f(x)dx$

属性2：此属性具有从a到其本身的限制，因此，数字只不过是一个点，并且没有点的面积，因此，与此类限制的积分始终为零。

$\int_{a}^{a}f(x)dx=0$

属性3：该属性有效，因为C是一个常量，因为它不包含在给定的函数，所以可以很容易地从积分中取出。

$\int_{a}^{b}cf(x)dx=c \int_{a}^{b}f(x)dx$

属性4：此属性指出，将与和或差连接的函数拆分后，积分的值将保持不变。

$\int_{a}^{b}[f(x){_{-}^{+}}g(x)]dx= \int_{a}^{b}f(x)dx{_{-}^{+}}\int_{a}^{b}g(x)dx$

特性5：此特性有助于我们求解相邻零件中的积分。很明显，在RHS中又添加了一个限制c，其中c仅位于a和b之间。

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$

房产6：此属性指出，用于整合函数的变量，只要无关紧要，限制和函数的值相同。

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(t)dt$

物业7： $\int_{a}^{b}cdx=c[b-a]$

在此，C是任何常数。

属性8：此属性表示函数的值大于零，则其积分也将大于零。

If f(x) ≥ 0 for a≤x≤b then $\int_{a}^{b}f(x)dx$ ≥ 0.

特性9：如果一个函数的值大于另一个函数的值，则该函数的积分也将大于另一个函数的积分。

If f(x) ≥ g(x) for a≤x≤b then $\int_{a}^{b}f(x)dx \ge \int_{a}^{b}g(x)dx$ 

特性10：如果对于a≤x≤b，p≤f(x)≤P，则p [ab]≤ $\int_{a}^{b}f(x)dx$ ≤P [ab]

物业11： $|{\int_{a}^{b}f(x)dx }| \le \int_{a}^{b}|f(x)|dx$

微积分的基本定理

我们将定积分定义为函数f(x)从x = a到x = b包围的区域。因此，定积分也称为面积函数。我们用A(x)表示这个面积函数，它由下式给出：

$A(x) = \int^{x}_{a}f(x)dx$

基于此定义，我们将陈述两个基本定理。

微积分的第一个基本定理：

令f为闭区间[a，b]上的连续函数，令A(x)为面积函数。那么对于所有x∈[a，b]，A’(x)= f(x)。

微积分的第二基本定理：

令f为在闭合区间[a，b]上定义的连续函数，F为f的反导数。然后$\int_{a}^{b}f(x)dx = [F(x)]^{b}_{a} = F(b) - F(a)$

Note: This theorem is really useful as it gives us means of calculating a definite integral without actually calculating it a limit of a sum 

计算步骤：

• 求不定积分$\int f(x)dx$ 。我们称它为F(x)。不需要保持恒定的“ C”，它最终还是会抵消掉。
• 只需找到F(b)– F(a)= [F(x)] ^b _a ，它就是该定积分的值。

让我们看一下该定理的一个例子。

问题1：计算积分： $\int^{3}_{2}x^{2}dx$

解决方案：

It can be solved using the second fundamental theorem of the calculus. 

$F(x) = \int x^{2}dx = \frac{x^{3}}{3}$

For finding the definite integral, let’s plug in the values. Let the value of definite integral be S. and a= 2 and b = 3. 

$S = F(b) - F(a) = 9 - \frac{8}{3} = \frac{19}{3}$

问题2：找到积分： $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}cos3xdx$

解决方案：

Solving, $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}cos3xdx=[\frac{sin3x}{3}]_{0}^{\frac{\pi}{6}}\\\frac{1}{3}[sin(\frac{\pi}{2}-sin0)]=\frac{1}{3}[1-0]=\frac{1}{3}$

问题3：评估$\int_{1}^{2}logxdx$

解决方案：

$\int_{1}^{2}logx.1dx=[logx.x]_{1}^{2}-\int_{1}^{2}\frac{1}{x}.xdx\\$

2log2-2+1=(2log2-1)