由积分定义的函数

在考虑函数时，我们总是认为函数是一台数学机器，它为我们提供的任何输入提供输出。它通常被认为是数学表达式，如平方、指数和函数等。也可以用定积分来定义函数。这些类似于面积函数，它允许我们在给定定积分限制的情况下计算任何曲线下的面积。让我们看看如何详细定义它们及其属性。

定积分定义的函数

新函数可以在积分的帮助下定义。假设给定一个函数f(x)，那么面积函数定义为给定函数在某些边界内的积分。由于我们必须在边界内计算面积，因此我们必须使用定积分来定义此类函数。因此，由积分定义的函数给出为，

F(x) = $\int^{x}_{a} f(x)dx$

让我们举一个这样的函数的例子，假设

f(x) = $\sqrt{x^2 - a^2}$如果 0 ≤ x ≤ 5

函数的图形大致如下所示，

我们的目标是找到给出该曲线下面积的函数。对于给定的特定值“x”，我们计算从 0 到 x 的积分。

F(x) = $\int^{x}_{0}\sqrt{t^2 - a^2}dt$

这个函数是什么意思？由于该函数是 f 的图下面积，因此 F(x) 基本上是从 t = 0 到 t = x 的曲线下面积。下图表示从 t = 0 到 t = x 的这个面积函数。

此类函数的一般属性

这些属性允许我们绘制这些函数的图形或在不容易计算函数表达式的情况下简化计算：

1. Function F(x) is continuous where it is defined. This property comes from the fundamental theorem of calculus.
2. At x = a, value of the function F(a) = 0. This property comes from the properties of the definite integral.
3. F'(x) = f(x).
4. F”(x) = f'(x)
5. If a =0 and f(x) is even, then F(x) is odd.
6. If f(x) is odd, then F(x) is even.

自然对数

自然对数是定义为积分函数的函数的一个示例。对于 x > 0，自然对数定义为，

$ln(x) = \int^x_1\frac{1}{x}dx$

我们可以使用上面提到的属性绘制它的曲线，计算 x 截距。

F(x) = ln(x) = 0 = $\int^x_1\frac{1}{x}dx$

该表达式在 x = 1 处为零。因此，在 x = 1 处 ln(x) = 0。

F'(x) = $\frac{1}{x}$ , F”(x) = $\frac{-1}{x^2}$

由于对于输入的所有正值，F'(x) 始终大于零，因此函数始终在增加。请注意，使用类似的逻辑，对于所有大于零的 x 值，我们可以说 F”(x) < 0。

误差函数

对于 x 的所有实数值，误差函数由下式定义，

$erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int^{x}_{0}e^{-t^2}dt$

让我们也为这个函数画图，

它的 x 截距在 erf(x) = 0 处给出，即 x = 0。因此，该函数的图形通过原点。

F(0) = 0, F'(x) = $\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}$ , F”(x) = $\frac{-4x}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}$

F(x) 将是奇数，因为} $\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}$甚至。这个函数的图形看起来像，

示例问题

问题 1：给定 F(x) = $\int^{x}_{0}f(t)dt$ .证明 F'(x) = f(x) 和 F”(x) = f'(x)。

解决方案：

 F(x) = $\int^{x}_{0}f(t)dt$

⇒ F'(x) = f(x) 

Differentiating it again, 

F”(x) = f'(x)

问题 2：给定 F(x) = $\int^{x}_{0}t^2dt$ .求 F(2) 的值。

解决方案：

F(x) =$\int^{x}_{0}t^2dt$.

at x = 2 

F(x) =$\int^{2}_{0}t^2dt$

⇒ F(x) = $[\frac{t^3}{3}]^{2}_{0}$

⇒ F(x) = $[\frac{2^3}{3} - 0]$

⇒ F(x) = $\frac{8}{3}$

问题 3：给定 F(x) = $\int^{x}_{0}tdt$ .求 F(4) 的值。

解决方案：

F(x) =$\int^{x}_{0}tdt$.

at x = 4 

F(4) =$\int^{4}_{0}tdt$

⇒ F(4) = $[\frac{t^2}{2}]^{4}_{0}$

⇒ F(4) = $[\frac{4^2}{2} - 0]$

⇒ F(4) = 8

问题 4：求给定函数g(x) 在 x = 3 处的值。

f(x) = $\begin{cases} 1,& \text{if } x\geq 1\\ 3, & \text{otherwise} \end{cases}$

g(x) = $\int^{x}_{0}f(t)dt$

解决方案：

The graph for the function f(x) is given by 

We need to calculate the value of g(x) = $\int^{x}_{0}f(t)dt$

g(3) = $\int^{3}_{0}f(t)dt$

⇒ g(3)=  $\int^{1}_{0}f(t)dt + \int^{3}_{1}f(t)dt$

⇒ g(3) = $\int^{1}_{0}3dt + \int^{3}_{1}1dt$

⇒ g(3) = $[3t]^1_0 + [t]^{3}_{1}$

⇒ g(3) = 3 + 1

⇒ g(3) = 4

问题 5：求给定函数在 x = 1 处的值。

f(x) = $\begin{cases} 1,& \text{if } x\geq 0\\ -1, & \text{otherwise} \end{cases}$

g(x) = $\int^{x}_{-1}f(x)dx$

解决方案：

The graph for the function f(x) is given by 

We need to calculate the value of g(x) = $\int^{x}_{-1}f(t)dt$

g(1) = $\int^{1}_{-1}f(t)dt$

⇒ g(1)= $|\int^{0}_{-1}f(t)dt|+ \int^{1}_{0}f(t)dt$

⇒ g(1) = $|\int^{0}_{-1}-1dt|+ \int^{1}_{0}1dt$

⇒ g(1) = $1 + 1$

⇒ g(1) =2

问题 6：计算给定函数f(x) 在 x = 1 处的值。

f(x) = $\int ln(x)$

解决方案：

This integration can be solved by applying the by parts formula for integration.

We know that $\frac{d(ln(x))}{dx} = \frac{1}{x}$

Applying by parts integration to the integral

f(x) = $xln(x) - \int1dx$

⇒f(x) = $xln(x) - x$

f(1) = -1

问题 7：计算给定函数f(x) 在 x = 5 处的值。

f(x) = $\int ln(x)$

解决方案：

This integration can be solved applying the by parts formula for integration.

We know that $\frac{d(ln(x))}{dx} = \frac{1}{x}$

Applying by parts integration to the integral

f(x) = $xln(x) - \int1dx$

⇒f(x) = $xln(x) - x$

f(1) = -1

问题8：计算给定函数x = 2的值，

g(x) = f(x) + f(-x)

其中 f(x) = $\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int^{x}_{0}e^{-t^2}dt$

解决方案：

g(x) = f(x) + f(-x) 

We know that f(x) is the error function. 

Now by the properties mentioned above, since $e^{-t^2}$ is an even function. The integral function must be an odd function. 

That is, f(x) = $\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int^{x}_{0}e^{-t^2}dt$ is an odd function. 

Since f(x) is an odd function, f(-x) = -f(x). 

g(x) = f(x) + f(-x) 

⇒ g(x) = f(x) – f(x) 

⇒ g(x)= 0 

Thus, g(2) = 0