算法 | 递归问题5

本文主要介绍递归算法中的一些常见问题和技巧，帮助程序员更好的理解和应用递归算法。

递归定义

递归是指在函数内直接或间接调用自身的过程。递归可以将一个做大的问题划分为多个相同或相似的子问题来解决，从而简化问题的复杂度。

递归定义中包括两个部分：

1. 基线条件：指递归调用最终会到达的条件，也称为终止条件。
2. 递归条件：指执行递归调用的条件。

下面是一个递归定义的例子，用来计算 $n$ 的阶乘：

def factorial(n):
    if n == 0:
        return 1
    else:
        return n * factorial(n - 1)

在上面的代码中，基线条件是 $n=0$ 时返回 1，递归条件是 $n>0$ 时递归调用函数本身。

常见问题

1. 栈溢出

递归调用是通过调用栈来实现的，栈的大小是有限的，如果递归调用层数太深，就会导致栈溢出。为了避免这种情况，可以考虑改用迭代算法或尾递归优化。

2. 重复计算

递归调用可能会重复计算相同的问题，导致时间复杂度大大增加。为了避免这种情况，可以使用记忆化搜索技巧来记录已经计算过的结果，避免重复计算。

3. 递归与循环

递归算法可以使用循环算法来代替，但是循环算法也可以使用递归算法来表示。在实际应用中，应当根据具体情况来选择使用哪种算法。

技巧

1. 尾递归优化

尾递归是指递归函数的最后一步操作是递归调用的情况。如果对尾递归函数进行优化，可以避免栈溢出的问题。在进行尾递归优化时，需要将递归表达式写为迭代表达式。

下面是一个递归函数的例子：

def sum(n):
    if n == 0:
        return 0
    else:
        return n + sum(n - 1)

可以将其改写为一个尾递归优化的函数：

def sum(n, acc=0):
    if n == 0:
        return acc
    else:
        return sum(n - 1, acc + n)

尾递归函数可以避免栈溢出，但是 Python 解释器没有对尾递归进行优化。

2. 记忆化搜索

记忆化搜索是指将已经计算过的结果保存起来，避免重复计算的过程。在递归算法中，记忆化搜索可以避免重复计算，提高算法效率。

下面是一个递归函数的例子：

def fib(n):
    if n == 0 or n == 1:
        return n
    else:
        return fib(n - 1) + fib(n - 2)

如果使用记忆化搜索来避免重复计算，可以将已经计算过的结果保存到一个字典中，以便后续查找。

def fib(n, memo={0: 0, 1: 1}):
    if n in memo:
        return memo[n]
    else:
        memo[n] = fib(n - 1, memo) + fib(n - 2, memo)
        return memo[n]

总结

递归算法是一种常用的算法技巧，可以简化问题的复杂度。在应用递归算法时需要注意栈溢出和重复计算等问题，并且可以使用尾递归优化和记忆化搜索技巧来提高算法效率。