瓷砖堆叠问题

简介

瓷砖堆叠问题是一个经典的计算机科学问题，通常作为动态规划的一个例子来讲解。问题的目标是在一个 $N \times M$ 的矩形中堆叠尽可能多的 $1 \times 2$ 或 $2 \times 1$ 的瓷砖，使得所有的瓷砖之间不能重叠，也不能悬挂在空中。下面将介绍问题的具体定义、解法思路和代码实现。

定义

在 $N \times M$ 的矩形中，每个格子可以是黑色或白色。在这个矩形中，可以摆放尽可能多的 $1 \times 2$ 或 $2 \times 1$ 的瓷砖，每块瓷砖可以横放或竖放。所有的瓷砖之间不能重叠，也不能悬挂在空中。

设 $f(i,j)$ 表示左上角为 $(i,j)$ 的子矩形中，能够堆叠的最多瓷砖数目。则瓷砖堆叠问题的目标是求得 $f(1,1)$ 的最大值。

解法思路

瓷砖堆叠问题可以使用动态规划来解决。首先需要找到合适的状态表示方法。考虑以矩形的左上角作为状态，即 $f(i,j)$ 表示左上角为 $(i,j)$ 的子矩形中，能够堆叠的最多瓷砖数目。显然，当 $i=N+1$ 时，状态就已经确定了，因为此时矩形已经被完全覆盖。

接下来考虑状态转移方程。设 $S(x,y)$ 表示一个矩阵中 $(x,y)$ 和 $(x+1,y)$ 或 $(x,y+1)$ 和 $(x+1,y+1)$ 这两个格子是否可以摆放瓷砖，即是否为一对黑白格子。则有如下状态转移方程：

$$f(i,j) = \begin{cases} f(i,j+1) & S(i,j)=0 \ \max(f(i,j+1),f(i+1,j+2)+1) & S(i,j)=1 \end{cases}$$

其中第一种情况表示当前位置不能放置瓷砖，那么需要转移到下一列的状态。第二种情况表示当前位置可以放置瓷砖，那么则有两种可能性，一种是不放瓷砖，直接转移到下一列的状态；另一种是放置瓷砖，那么当前列的瓷砖数目就要加 1，同时需要转移到下一列第二行的状态。

最终，瓷砖堆叠问题的最优解就是 $f(1,1)$ 的最大值。

代码实现

下面是使用 Python 实现瓷砖堆叠问题的代码：

def can_put_tile(board, i, j):
    # 检查一个位置是否可以放置瓷砖
    if i+1 >= len(board) or j+1 >= len(board[0]):
        return False
    if board[i][j] and board[i+1][j] and not board[i][j+1] and not board[i+1][j+1]:
        return True
    if not board[i][j] and not board[i+1][j] and board[i][j+1] and board[i+1][j+1]:
        return True
    return False


def max_tiles(board):
    # 计算最多可以放置的瓷砖数目
    n, m = len(board), len(board[0])
    f = [[0] * (m+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(n, 0, -1):
        for j in range(m, 0, -1):
            if can_put_tile(board, i-1, j-1):
                f[i][j] = max(f[i][j+1], f[i+1][j+2]+1)
            else:
                f[i][j] = f[i][j+1]
    return f[1][1]

以上代码中，can_put_tile 函数用来判断一个位置是否可以放置瓷砖；max_tiles 函数则是计算最多可以放置的瓷砖数目。其中，瓷砖堆叠问题的状态转移方程已经按照前文给出的方式实现。