瓷砖堆叠问题

瓷砖堆叠问题是一道非常有趣的数学问题。问题描述：有 $n$ 块瓷砖，每块瓷砖都有一个宽度和一个高度。现在需要将这些瓷砖堆叠起来，堆叠的过程中每块瓷砖只能放置在它前面的瓷砖上面，也就是下面的瓷砖的宽度必须小于上面瓷砖的宽度，并且下面的瓷砖的高度也必须小于上面瓷砖的高度。问最多能够堆叠起来多少块瓷砖？

思路

这个问题看起来非常复杂，但是实际上可以用动态规划的思想来解决。我们可以将问题分解成若干个子问题，使用递推的方式，逐步解决问题。

具体来说，我们可以定义状态 $dp[i]$ 表示前 $i$ 个瓷砖中，以第 $i$ 块瓷砖为顶部的最大堆叠高度。在计算 $dp[i]$ 的时候，我们可以枚举前面的每一块瓷砖 $j$，如果 $j$ 可以放在 $i$ 的上面，那么我们就尝试将 $j$ 放在 $i$ 的上面，得到一个可能的堆叠高度 $dp[j]+1$，并和当前的最大堆叠高度进行比较。在枚举完所有可行的 $j$ 后，我们就得到了 $dp[i]$ 的最大值。

状态转移方程为：

$$dp[i]=\max_{1\leq j<i}{(dp[j]+1)\times[w_i>w_j,h_i>h_j]}$$

其中 $[w_i>w_j,h_i>h_j]$ 表示当 $i$ 可以放在 $j$ 上面时，取值为 $1$，否则取值为 $0$。

最后的答案即为 $\max_{1\leq i\leq n}{dp[i]}$。

代码实现

def maxStackHeight(n, bricks):
    dp = [0] * n
    for i in range(n):
        for j in range(i):
            if bricks[i][0] > bricks[j][0] and bricks[i][1] > bricks[j][1]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp) if dp else 0

参考资料

• 《算法竞赛入门经典》（第二版）宋林。