数学 | 图中的步行、小径、路径、自行车和电路

在图论中，我们经常会用到“路径”、“小径”、“自行车”等概念，这些概念都与图中的点和边有关。同时，在电路理论中，也会涉及到用图的方式来描述电路的各个元件及其相互连接的情况。

图论中的基本概念

图是由节点和边组成的数据结构。节点通常用圆圈表示，而边则用连接两个节点的线段表示。图可以分为有向图和无向图两种类型，有向图即是边有方向的图，无向图即是边没有方向的图。

步行与小径

在无向图中，如果从一个节点出发走一条路径，使得路径上的每条边都被碰到一次且仅一次，那么我们称这条路径为“小径”。如果这条小径的起点和终点相同，那么我们就称这条小径为“环”。

路径

与小径类似，路径也是一条从起点到终点的、经过若干个节点的线段。与小径相比，路径上的每条边可以被经过多次。我们常常用一个列表表示路径，列表中每个元素代表路径上的一个节点。

自行车

自行车是一个环上的两条路径，我们把这两条路径称作“车轮”。自行车的本质上是小径的一种。如果一个环没有自行车，那么我们称这个环是“奇环”；否则，我们称这个环是“偶环”。

电路

在电路理论中，我们也可以使用图来描述电路元件及其相互连接的情况。在电路图中，通常将电路元件看作图的节点，电路元件之间的电缆则看作图的边。根据不同的需要，我们可以对电路图进行不同的抽象化处理——比如可以将一个复杂的电路图看作一个黑箱，只考虑电路的输入和输出端口。

代码示例

# 定义一个无向图
graph = {
    'A': {'B', 'C'},
    'B': {'A', 'C', 'D'},
    'C': {'A', 'B', 'D', 'E'},
    'D': {'B', 'C', 'E', 'F'},
    'E': {'C', 'D'},
    'F': {'D'}
}

# 计算从A到F的一条路径
def find_path(graph, start, end, path=[]):
    path = path + [start]
    if start == end:
        return path
    if start not in graph:
        return None
    for node in graph[start]:
        if node not in path:
            newpath = find_path(graph, node, end, path)
            if newpath: return newpath
    return None

print(find_path(graph, 'A', 'F'))
# 输出：['A', 'C', 'D', 'F']

以上是一个简单的示例，演示了如何计算从一个节点到另一个节点的一条路径。在这个示例中，我们使用了递归的方式来计算路径，并用列表来储存路径上的各个节点。