UGC NET CS 2018 年 7 月 – II |问题 41

UGC NET CS 2018 年 7 月 – II 考试中的问题 41 主要涉及到数学和编程两个方面，考查了程序员的数学知识和编程理解能力。这道问题的具体是如何在给定的区间内计算素数的个数，需要编写程序，并给出时间复杂度。

问题描述

给定两个正整数 p 和 q，计算出 [p, q] 区间内的素数的个数。

解题思路

本题主要考查基础算法和数学知识。首先判断一个数是不是素数的方法，可以使用暴力枚举法。即对于每一个要判断的数，从 2 开始到其自身减 1 逐个检查是否存在因子，若存在则不是素数，否则是素数。

在这个基础上，可以使用一个外层循环枚举区间 [p, q] 中的每一个数，内层循环判断是否是素数，最后统计素数的个数即可。

这种暴力枚举法时间复杂度较高，为 O((q-p+1)*sqrt(q))。优化方法可以采用埃拉托斯特尼筛法，可以将程序的时间复杂度优化到 O(sqrt(q))，具体实现可以参考其他优秀算法题库。

在设计代码的时候，需要注意边界问题，特别是当 p 或 q 非常大的时候，可能会出现超时或者其他问题。

代码示例

def is_prime(num):
    if num<=1: return False
    for i in range(2, int(num**0.5)+1):
        if num%i==0:
            return False
    return True

def count_primes(p, q):
    count = 0
    for i in range(p, q+1):
        if is_prime(i):
            count += 1
    return count

这个示例代码使用了简单的暴力枚举方法来计算 p 到 q 区间内的素数个数，时间复杂度为 O((q-p+1)*sqrt(q))。需要注意，这个算法在处理比较大的数时，可能会内存或者时间超限，需要进行适当的优化。

def count_primes(p, q):
    primes = []
    is_prime = [True] * (q+1)
    is_prime[0], is_prime[1] = False, False
    for i in range(2, q+1):
        if is_prime[i]:
            primes.append(i)
            for j in range(i*i, q+1, i):
                is_prime[j] = False
    count = sum(1 for prime in primes if prime>=p)
    return count

这个示例代码使用了埃拉托斯特尼筛法来计算 p 到 q 区间内的素数个数，时间复杂度为 O(sqrt(q))，在大数据集合条件下可以达到比较理想的效果。