使数组成为前N个自然数的排列的最低成本

当我们需要将一个数组变成前N个自然数的排列时，可能会遇到以下问题：

• 数组中可能有重复的数值；
• 数组中可能包含大于N的数值；
• 改变数组元素的位置会带来一定成本。

因此，我们需要设计一种算法来使得数组成为前N个自然数的排列的最低成本。

方法一：使用哈希表

我们可以通过哈希表来存储数组中的每个数值出现的次数。然后，我们从1到N遍历，如果哈希表中存在该数值，则将其从哈希表中删除。如果哈希表中不存在该数值，则表示数组缺少该自然数，我们需要将其添加到数组的末尾。

代码实现如下：

def make_array(n, arr):
    counts = {}
    for num in arr:
        counts[num] = counts.get(num, 0) + 1
    res = []
    for i in range(1, n+1):
        if i in counts:
            counts[i] -= 1
            if counts[i] == 0:
                del counts[i]
        else:
            res.append(i)
    return res

时间复杂度为O(n)，因为我们需要遍历整个数组和哈希表。

方法二：使用排序

我们也可以将数组进行排序，然后从小到大遍历数组，找到第一个大于等于1的数值，将其和1交换位置，然后找到第一个大于等于2的数值，将其和2交换位置，以此类推，直到排序后的数组成为前N个自然数的排列。

代码实现如下：

def make_array(n, arr):
    arr.sort()
    for i in range(n):
        if arr[i] >= i+1:
            if i+1 not in arr:
                arr[i] = i+1
            else:
                j = arr.index(i+1)
                arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]
        else:
            j = bisect_left(arr, i+1)
            if j == n or arr[j] != i+1:
                arr.insert(j, i+1)
            else:
                arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]
    return arr[:n]

其中，bisect_left是Python内置模块bisect中的函数，用于找到将一个数值插入到有序数组中的正确位置。因此，该算法的时间复杂度为O(nlogn)，因为我们需要对数组进行排序并进行二分查找。

方法三：使用桶排序

我们可以使用桶排序来对数组中的数值进行计数，然后对于每个数值i，如果桶中存在该数值，则不进行操作，否则，我们需要将桶中大于等于i的数值中最小的数值j和i交换位置，直到数组成为前N个自然数的排列。

代码实现如下：

def make_array(n, arr):
    cnts = [0] * n
    for num in arr:
        if num <= n:
            cnts[num-1] += 1
    for i in range(n):
        if cnts[i] == 0 and arr[i] > n:
            j = i+1
            while cnts[j-1] > 1:
                j += 1
            cnts[j-1] = 1
            cnts[arr[i]-1] -= 1
            arr[i] = j
    return arr[:n]

该算法的时间复杂度为O(n)，因为我们只需要遍历数组和桶。但是，这种方法需要额外的空间来存储桶，因此空间复杂度为O(n)。

总之，以上三种方法都可以使数组成为前N个自然数的排列的最低成本，具体使用哪种方法取决于具体情况。