从网格左下角的单元格到达每个单元格的最短路径数

在很多算法问题中，我们需要计算从一个起点到其他所有点的最短路径长度。本文将介绍从网格左下角的单元格到达每个单元格的最短路径数，以及如何使用动态规划算法来解决这个问题。

问题描述

假设有一个m×n的网格，其中每个单元格都是一个正整数。现在你从左下角(0, 0)出发，要到达右上角(m-1, n-1)。在移动过程中，你只能向上或向右移动一个单元格。问从左下角到达右上角有多少种不同的路径。

解决方案

为了解决这个问题，我们可以使用动态规划算法。我们定义一个二维数组dp，dp[i][j]表示从左下角(0, 0)到达单元格(i, j)的不同路径数。那么我们有以下状态转移方程式：

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

其中，如果i或j为0，我们有：

dp[i][0] = 1
dp[0][j] = 1

因为从左下角到达第一列或第一行的任何单元格只有一种可能的路径。

通过使用动态规划算法，我们可以用时间复杂度为O(mn)的方法有效地解决这个问题。

代码实现

下面是Python代码实现：

def uniquePaths(m: int, n: int) -> int:
    dp = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(m)]
    for i in range(m):
        dp[i][0] = 1
    for j in range(n):
        dp[0][j] = 1
    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
    return dp[m-1][n-1]

下面是Java代码实现：

public int uniquePaths(int m, int n) {
    int[][] dp = new int[m][n];
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        dp[i][0] = 1;
    }
    for (int j = 0; j < n; j++) {
        dp[0][j] = 1;
    }
    for (int i = 1; i < m; i++) {
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
        }
    }
    return dp[m-1][n-1];
}

我们可以看到，使用动态规划算法可以很容易地解决这个问题。希望这篇文章能够帮助你更好地理解动态规划算法，并用它来解决其他算法问题。