跳跃问题

跳跃问题指的是在一个由单元格组成的矩阵中，从起点出发，每次跳跃的距离等于当前所在单元格的值，最终到达终点的最小跳跃次数。每次跳跃必须保证跳跃后落在矩阵范围内且不能跳跃到已经访问过的单元格。

解题思路

本问题可以使用动态规划的思想来解决。首先定义一个状态数组$dp[i][j]$表示从该位置到达终点的最小跳跃次数。我们需要从终点开始往回倒推，填充状态数组。

倒推的过程可以看做是一个逆拓扑排序的过程，我们需要从入度为0的终点开始，向所有入度为1的点进行更新。从下往上更新，最终$dp[0][0]$即为所求答案。

状态转移方程为：$dp[i][j] = \min\limits_{(i,j)\rightarrow (x,y)} {dp[x][y] + 1}$，其中$(i,j)\rightarrow (x,y)$表示从位置$(i,j)$能跳跃到的位置。

因为每个状态只需要考虑与其相邻的状态，我们可以使用BFS的方式来遍历所有状态。

代码实现

def minimumJumps(matrix):
    n = len(matrix)
    m = len(matrix[0])
    visited = [[False] * m for _ in range(n)]  
    dp = [[float('inf')] * m for _ in range(n)]  
    dp[n-1][m-1] = 0  
    visited[n-1][m-1] = True  
    q = [(n-1, m-1)]  
    while q:  
        x, y = q.pop(0)  
        visited[x][y] = False  
        for dx, dy in [(0, 1), (0, -1), (1, 0), (-1, 0)]:  
            nx, ny = x + dx * matrix[x][y], y + dy * matrix[x][y]  
            if nx < 0 or nx >= n or ny < 0 or ny >= m:  
                continue  
            if dp[nx][ny] > dp[x][y] + 1:  
                dp[nx][ny] = dp[x][y] + 1  
                if not visited[nx][ny]:  
                    visited[nx][ny] = True  
                    q.append((nx, ny))  
    return dp[0][0] if dp[0][0] != float('inf') else -1  

以上代码实现了跳跃问题的解决方案，其时间复杂度为$O(NM)$，空间复杂度为$O(NM)$。

总结

跳跃问题是一道比较经典的动态规划问题，也是一道较为复杂的问题。需要我们从终点开始倒推，不断更新状态数组，最终得到答案。同时，可以使用BFS的方式来遍历所有状态，降低时间复杂度。