门| GATE-CS-2005 |问题 5

该问题主要是考查程序员对有向图遍历算法的理解。

问题描述

给定指向自己的有向图，你需要找到图中的所有强连通分量。强连通分量是由两个或者多个节点构成的，对于任意一对节点 u 和 v，如果 u 可以到达 v，同时 v 也可以到达 u，则称 u 和 v 属于同一个强连通分量。

问题分析

这是一道典型的图遍历问题，需要我们对图进行深度优先遍历，同时记录每个节点被访问的顺序。遍历过程中，使用栈来存储节点，并标记节点的访问顺序。

在遍历过程中，我们需要记录图的强连通分量。具体的，我们需要维护一个『栈』，在深度优先遍历到某个节点时，将该节点入栈，并将该节点的访问顺序记为当前访问顺序，同时用一个集合来记录所有强连通分量。

当我们访问到某个节点时，如果该节点的任意一个子节点的访问顺序小于当前节点的访问顺序，说明当前节点不可能在一个强连通分量之内，我们需要重新从栈中将节点弹出，直到找到可连接该节点的强连通分量。

当遍历完整个图后，集合中存储的即为所有强连通分量。

代码实现

下面是对该问题的 Python3 代码实现：

from typing import List

def tarjan_scc(num_nodes: int, edges: List[List[int]]) -> List[List[int]]:
    """
    Args:
        num_nodes: 图中节点数目
        edges: 图中的所有边

    Returns:
        List[List[int]]: 所有强连通分量
    """
    # 记录该节点是否已被访问
    visited = [False] * num_nodes
    # 记录每个节点的访问时间
    discover = [-1] * num_nodes
    # 记录每个节点可到达的最小的访问时间
    low = [-1] * num_nodes
    # 记录节点是否在当前的栈中
    on_stack = [False] * num_nodes
    # 记录强连通分量
    scc = []
    # 记录所有强连通分量
    all_scc = []

    # 递归访问节点
    def dfs(node: int, time: int):
        visited[node] = True
        discover[node] = time
        low[node] = time
        on_stack[node] = True

        for next_node in edges[node]:
            if visited[next_node] == False:
                dfs(next_node, time+1)
                low[node] = min(low[node], low[next_node])
            elif on_stack[next_node]:
                low[node] = min(low[node], discover[next_node])

        # 获取当前的强连通分量
        if discover[node] == low[node]:
            member = []
            while True:
                tmp = stack.pop()
                member.append(tmp)
                on_stack[tmp] = False
                if tmp == node:
                    break
            scc.append(member)

    # 执行遍历操作
    stack = []
    for i in range(num_nodes):
        if visited[i] == False:
            dfs(i, 0)
            all_scc.extend(scc)
            scc = []

    return all_scc

总结

该问题对图遍历算法的理解至关重要，对于理解『强连通分量』的概念以及其在实际应用中的重要性有很好的帮助作用。同时，该问题也可作为一些算法和数据结构面试的考点之一。