极限的性质

简介

极限是微积分中的基本概念，是研究函数性质和一些计算问题的基础。在计算机科学中，极限的性质经常用于优化算法，例如梯度下降。本文将介绍极限的性质，包括极限的定义、不等式、算术运算法则以及极限计算的一些技巧。

极限的定义

极限（limit）是一种数学概念，是指当自变量趋近某个值时，函数的取值逐渐逼近一个确定的值。用符号表示，即：

$$ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=L $$

其中，$a$是自变量$x$的极限值，$L$是函数$f(x)$的极限值。

极限不等式

极限不等式是指，如果一个函数$g(x)$在$x=a$处极限存在并且有限，则满足以下不等式：

$$ \lim_{x\rightarrow a}g(x)=L\Rightarrow \lim_{x\rightarrow a}|g(x)|=|L| $$

这个不等式可以帮助我们计算一些复杂的极限，例如：

$$ \lim_{x\rightarrow 0}\left|\frac{\sin(x)}{x}\right|=\lim_{x\rightarrow 0}|{\frac{\sin(x)}{x}}|=1 $$

极限的算术运算法则

极限的算术运算法则指的是，如果$f(x)$和$g(x)$在$x=a$处极限存在，则它们的和、差、积、商在$x=a$处的极限也存在，且有以下结论：

1. 和的极限等于极限的和：

   $$ \lim_{x\rightarrow a}(f(x)+g(x))=\lim_{x\rightarrow a}f(x)+\lim_{x\rightarrow a}g(x) $$

2. 差的极限等于极限的差：

   $$ \lim_{x\rightarrow a}(f(x)-g(x))=\lim_{x\rightarrow a}f(x)-\lim_{x\rightarrow a}g(x) $$

3. 积的极限等于极限的积：

   $$ \lim_{x\rightarrow a}(f(x)g(x))=\lim_{x\rightarrow a}f(x)\cdot\lim_{x\rightarrow a}g(x) $$

4. 商的极限等于极限的商（要求分母不为0）：

   $$ \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}{\lim_{x\rightarrow a}g(x)},\lim_{x\rightarrow a}g(x)\neq 0 $$

极限计算的技巧

在计算一些复杂的极限时，可以采用以下技巧：

奇偶性或周期性

如果$f(x)$是偶函数，则有：

$$ \lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0}f(x) $$

如果$f(x)$是奇函数，则有：

$$ \lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=-\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=-\lim_{x\rightarrow 0}f(x) $$

如果$f(x)$具有周期性，则有：

$$ \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x) $$

换元

将变量$x$替换为$y=g(x)$，使用极限的定义和代数运算计算$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)$，最后将变量$y$换回$x$，即可得到$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)$的值。

夹逼定理

如果对于$x$的某个去心邻域，有：

$$ g(x)\leq f(x)\leq h(x) $$

并且$\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=\lim\limits_{x\rightarrow a}h(x)=L$，则有：

$$ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=L $$

代码片段

def limit(f, a, eps=1e-8):
    """
    计算函数在a点处的极限值
    :param f: 函数对象
    :param a: 极限点
    :param eps: 误差范围
    :return: 极限值
    """
    x = np.linspace(a - eps, a + eps, 1000)
    y = f(x)
    return np.mean(y)

以上代码是一个通用的计算函数在某个点处极限的函数，其中$f$是函数对象，$a$是极限点，$eps$是误差范围。该函数采用微小的步长计算函数$f$在$a$点的取值，并返回取值的平均值作为极限值。可以根据需要，对这个函数进行修改以适应不同的场景。