极限公式

如果函数f(x) 在某个点给出未定义的值，则使用限制来定义函数的值，不精确但在某个点接近值。如果我们考虑一个未在某个点定义的函数f(x)。所以，在这一点上找到函数的值。我们无法找到它的确切值，但我们可以找到它最接近的函数值或函数的接近值。最接近的和精确的值在它们之间有非常小的差异，即如果精确点是 2，那么接近的值是 1.9999999……很快。

极限公式

三角极限：为了评估三角极限，我们必须将函数的项简化为更简单的项或 sinθ 和 cosθ 的项。

• _{林 x ⇢ 0}   sinx/x = lim _{x ⇢ 0} x/sinx = 1
• lim _{x ⇢ 0} tanx/x = lim _{x ⇢ 0} x/tanx =1

当我们考虑我们的第一个时，

lim_{x ⇢ 0} sinx/x =1      

Using L-Hospital

lim_{x ⇢ 0} cosx/1 

lim_{x ⇢ 0} cos(0)/1 = 1/1 =1

如果函数通过限制给出不确定的形式，则使用 l-hospital 规则。

不定式

0/0, ∞/∞, ∞-∞, ∞/0, 0^∞, ∞⁰ , 0⁰, ∞^∞

L-医院规则

如果我们得到不确定的形式，那么我们分别区分分子和分母，直到我们得到一个有限值。请记住，我们将区分分子和分母的次数相同。同样对于所有函数，

• lim _{x ⇢ 0} sin ^-1 x/x = lim _{x ⇢ 0} x/sin ^-1 x = 1

lim_{x ⇢ 0} sin^-1x/x =1

lim_{x ⇢ 0} 1/√1+x²  [Using L-Hospital] 

= 1/√(1 + (0)²) = 1

同样在这里，所有的函数，

• lim _{x ⇢ 一个}sin x ^o /x = π/180
• lim _{x ⇢ a} sin(xa) / (xa) =1

lim_{x ⇢ a} sin(x – a) / (x – a) 

=1

lim_{x ⇢ a} cos(x – a)/1 

= lim_{x ⇢ a} cos(a – a) = cos(0) =1

• lim _x⇢∞ sinx/x = 0
• lim _x⇢∞ cosx/x = 0
• lim _x⇢∞ sin(1/x) / (1/x) =0

lim_{x ⇢ ∞} sin(1/x)/(1/x) = 0

Let 1/x = h

So, limits changes to 0

Because 1\∞ = 0

lim_{h ⇢ 0} sinh/h

As we see before, If lim_{x ⇢ 0} sinx/x = 1

So, lim_{h ⇢ 0} sinh/h = 1

指数限制

• _{林 x ⇢ 0} e ^x – 1 /x = 1
• lim _{x ⇢ 0} a ^x – 1 /x = log _e a
• lim _{x ⇢ 0} e ^λx – 1 /x = λ

同样在这里，我们通过使用 L-hospital 规则得到我们想要的结果。

替代方法：使用扩展

e^x = 1 + X + X²/2! + X³/3! + X⁴/4!+ … ∞

lim_{x ⇢ 0}  e^x – 1 /x = 1

lim_{x ⇢ 0} (1 + X + X²/2!+ —) -1 /x

lim_{x ⇢ 0} (X + X²/2! + —)/x

lim_{x ⇢ 0} 1 + X + X²/2!+—

lim_{x ⇢ 0} 1 + 0 + 0 + 0 + 0— = 1

对数限制

• lim _{x ⇢ 0} log(1 + x) /x = 1
• lim _{x ⇢ e} log _e x = 1
• lim _{x ⇢ 0} log _e (1 – x) /x = -1
• lim _{x ⇢ 0} log _a (1 + x) /x = log _a e

用L-hospital和expansion法简单证明。

一些重要的扩展

1. $e^x = 1+\frac{x}{1!} +\frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} +---$
2. $a^x = 1+ xloga + \frac{x^2(loga)^2}{2!} + \frac{x^3(loga)^3}{3!} +---$
3. $log(1+x) = x- \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} -\frac{x^4}{4} +---$
4. $log(1-x) = -x- \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} -\frac{x^4}{4} +---$
5. $(1+x)n = 1 + nx + \frac{n(n-1)x^2}{2!} +---$
6. $sinx = x- \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} +---$
7. $cosx = 1- \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} +---$
8. $tanx = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} +---$
9. $sin^{-1}x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{9x^5}{5!} +---$
10. $cos^{-1}x = x - \frac{x^3}{6} + ---$
11. $tan^{-1}x= x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} +---$
12. $sinhx = x+ \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} +---$ （这里，sinhx 是一个双曲函数）
13. $coshx = 1+ \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} +---$
14. $tanhx = x - \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} +---$
15. $(1+x)\frac{1}{x} = e^{1- \frac{x}{2} + \frac{11x4}{24} } +---$

示例问题

问题 1：求解 lim _x⇢0 (x – sinx ) /(1 – cosx)。

解决方案：

Using L-hospital,

lim_{x ⇢ 0} (1 – cosx) / (sinx)

lim_{x ⇢ 0} sinx / cosx = sin(0) / cos(0) = 0/1 = 0

问题 2：求解，lim _{x ⇢ 0} (e ^2x -1) / sin4x。

解决方案：

Using L-hospital 

lim_{x ⇢ 0} (2)(e^2x) / cos4x

lim_{x ⇢ 0}  2(e⁰) / cos4(0) = 2/1= 2

问题 3：求解，lim _{x ⇢ 0} (1 – cosx) / x ²

解决方案：

Using L-hospital 

lim_{x ⇢ 0} sinx /2x = 1/2 {sinx/x = 1}

问题 4：求解，lim _{x ⇢ ∞} $\frac{x+sinx}{x}$

解决方案：

lim_{x ⇢ ∞} (1 + $\frac{sinx}{x}$)

1 + lim_{x ⇢ ∞}$\frac{sinx}{x}$

As we know, x = ∞  

So 1/x = 0

$1 + lim\frac{1}{x}⇢∞ \frac{sin\frac{1}{x}}{x}$

1 + 0 = 0                                                                                                                                                 

问题 5：求解，lim _{x ⇢ π/2} (tanx) ^cosx

解决方案：

let Y = lim_{x ⇢ π/2}  (tanx)^cosx

Taking log_e both sides,

 log_eY = lim_{x ⇢ π/2}  log_e(tanx)^cosx 

 log_eY = lim_{x ⇢ π/2}  cosx log_e(tanx)

log_ey = lim_{x ⇢ π/2} loge(tanx)/secx

Using l-hospital,

log_ey = lim_{x ⇢ π/2} cosx /sin²x = 0

Now, taking exponent on both sides,

Y = lim_{x ⇢ π/2} e⁰ 

Y = lim_{x ⇢ π/2}  (tanx)^cosx = 1  

问题 6：lim _{x ⇢ 0} $\frac {e^x -(1+x+ \frac {x^2}{2})}{ x^3}$

解决方案：

limx⇢0 \frac{1+\frac{x}{1!} + \frac{x²}{2!} + \frac{x³}{3!} – ( 1+ x+ \frac{x²}{2!} ) }{x³}

limx⇢0 \frac{\frac{x³}{3!}}{x³} = 1/3! =1/6

问题 7：求解，lim _{a ⇢ 0} $\frac{x^a-1}{a}$

解决方案：

Using l-hospital (Differentiating numerator and denominator w.r.t a)  

lim_{a ⇢ 0}  x^alogx = logx

问题 8：求解，lim _{x ⇢ 0} $\frac{x^2+x-sinx}{x^2}$

解决方案：

lim_{x ⇢ 0} $\frac{x^2+x-(x-x^3/3!)}{x^2}$

lim_{x ⇢ 0} 1 + x/3! = 1