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📜  极限介绍

📅  最后修改于: 2021-06-23 00:33:33             🧑  作者: Mango

在数学中，极限被定义为通过函数逼近给定的输入值的输出值。在微积分和数学分析中，该限制很重要，它用于描述积分，导数和连续性。它用于研究过程中，并且通常与功能的行为有关。假设您和您的朋友决定在某个地方见面。您是否必须使所有朋友都生活在同一个地方，并以相同的方式步行到此站点?不只是不时地。您所有的朋友都来自城镇或世界各地的一个地方聚会。假设我们有一个f(x)函数。值x是函数，其中变量x达到给定值，这意味着变量an被称为其极限。在此，“ a”是初始值。标记为

左侧的点“ a”指示的预测函数值是该函数的左侧极限。叫做

右边的点“ a”指示的预测函数值是该函数的右边界。叫做

极限定义

让我们考虑一个实值函数“ f”和实数“ c”，通常将极限定义为

读作“ x的极限f，x接近p等于L”。 “ lim”表示极限，右箭头描述了函数f(x)随着x接近p而接近极限L的事实。

极限的性质

  • lim x⇢a k = k，其中k是一个常数
  • lim x⇢a x = a的值
  • lim x⇢a bx + c = ba + c的值
  • lim x⇢a x n = a n如果n是一个正整数。
  • lim x⇢+0 1 / x r = +∞的值
  • lim x⇢-0 1 / x r =-∞(如果r为奇数)
  • lim x⇢-0 1 / x r = +∞，如果r是偶数

极限代数

令m和n为两个函数，使它们的极限

存在lim x⇢a m(x)和lim x⇢a n(x)。

  • 两个函数之和的极限是这些函数的极限之和。
  • 两个功能的差异的极限是功能的界限之间的差异。
  • 两个功能的乘积的极限是功能的极限的乘积。
  • 两个函数的商的极限就是函数的极限的商。
  • 具有常数n(x)=α的函数m(x)的乘积极限是α乘以m(x)的极限。

多项式函数的极限

考虑多项式函数，f(x)= a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +…+ a n x n 。在这里，a 0 ，a 1 ，…，a n都是常数。在任何点x = a上，此多项式函数的极限为

有理函数的极限

类型为m(x)/ n(x)的任何有理函数(其中n(x)≠0且m(x)和n(x)是多项式函数)的极限为：

找到有理函数极限的第一步是检查是否在某些时候将其简化为0/0的形式。如果是这样，那么我们需要进行一些调整，以便可以计算限制的值。这可以通过取消使限制为0/0形式的因数来完成。假设一个函数f(X)=(X 2 + 4X + 4)/(X 2 – 4)。取x = −2的极限，该函数的形式为0/0，

应用L –医院规则

对有理函数的分子和分母进行微分，直到极限的值不为0/0的形式。假设一个函数f(x)= sin x / x。取x = 0的极限，该函数的形式为0/0。以sin x和x相对于x的微分为极限，lim x⇢0 sin x / x减小为lim x⇢0 cos x / 1 = 1(cos 0 = 1)

解决的例子

问题1：lim x⇢6 x / 3

解决方案：

问题2：lim x⇢2 x 2 – 4 / x 2 – 2

解决方案：

问题3：lim x⇢1/ 2 2x – 1 / 4x 2 – 1

解决方案：