NFA接受至少一个字符以3的倍数出现的字符串

本文介绍如何使用 Nondeterministic Finite Automaton (NFA) 来接受至少一个字符以 3 的倍数出现的字符串。

什么是 NFA

NFA 是一种有限状态自动机，与 Deterministic Finite Automaton (DFA) 相似，但是状态转换可以有多种可能性。NFA 中每个状态可以有多个转移状态，当输入一个字符时可以转移到多个状态中的任意一个状态。这种转移可能性使得 NFA 可以接受更多的语言，但是也给自动机的设计与实现带来了挑战。

NFA 的设计

为了接受至少一个字符以 3 的倍数出现的字符串，我们可以设计一个如下的 NFA：

从起始状态 0 开始，接受一个字符后可以转移到状态 1，2 或 3。状态 1，2，3 分别表示累计字符个数为 3，6，9 的状态。从状态 1，2 或 3 可以通过字符 0 转移到状态 4，说明累计字符个数为 3 的倍数。同时，从状态 4 可以通过任意字符转移回状态 1，表示字符串中存在至少一个字符以 3 的倍数出现。

NFA 的实现

我们可以使用字典和列表来实现 NFA。具体来说，字典用于存储状态之间的转移，键为状态名称，值为一个列表，指示该状态可以通过哪些字符转移到其他状态。下面是一个实现 NFA 的 Python 代码：

class NFA:
    def __init__(self, states, start_state, accept_states, transitions):
        self.states = states
        self.start_state = start_state
        self.accept_states = accept_states
        self.transitions = transitions
        
    def is_accepted(self, input_string):
        current_states = set([self.start_state])
        for character in input_string:
            next_states = set()
            for state in current_states:
                next_states |= set(self.transitions.get(state, {}).get(character, []))
            current_states = next_states
        return bool(current_states & set(self.accept_states))

在这个实现中，我们定义了一个 NFA 类，该类包含四个属性：

• states 表示自动机的所有状态；
• start_state 表示自动机的初始状态；
• accept_states 表示自动机的接受状态；
• transitions 表示自动机的状态转移关系。

我们还定义了一个 is_accepted 方法来接受一个输入字符串并返回它是否被自动机接受。我们使用集合来记录当前状态，对于每个输入字符，我们通过字典查找状态转移关系，并将新状态加入到当前状态集合中。最终，如果当前状态集合与接受状态集合存在交集，那么该字符串就被自动机接受了。

使用 NFA

我们可以将上述代码放入一个 Python 模块中，并使用下面的代码来测试 NFA 的接受性：

nfa = NFA(
    states={0, 1, 2, 3, 4},
    start_state=0,
    accept_states={1, 2, 3, 4}, 
    transitions={
        0: {'0': [0], '1': [1, 2, 3]},
        1: {'0': [4], '1': [1, 2, 3]},
        2: {'0': [2, 4], '1': [1, 2, 3]},
        3: {'0': [4], '1': [1, 2, 3]},
        4: {'0': [1, 2, 3, 4], '1': [1, 2, 3, 4]}
    }
)

assert nfa.is_accepted('01110') == True
assert nfa.is_accepted('01101') == True
assert nfa.is_accepted('0000') == False
assert nfa.is_accepted('001111110') == False

在这个例子中，我们定义了一个 NFA 对象，该对象的 states 属性为 {0, 1, 2, 3, 4}，start_state 为 0，accept_states 为 {1, 2, 3, 4}，transitions 表示状态转移关系。对于输入字符串 '01110' 和 '01101'，NFA 返回值为 True，因为这两个字符串都至少包含一个 3 的倍数。相反，对于输入字符串 '0000' 和 '001111110'，NFA 返回值为 False。

注意，NFA 接受至少一个字符以 3 的倍数出现的字符串，但是不接受空字符串。如果需要接受空字符串，可以将状态 0 设为接受状态。