将数组减少到 0 元素所需的最小给定操作数

介绍

在进行数据处理和算法实现的过程中，经常需要对数组进行操作。给定一个数组，将其减少（或增加）到 0 元素所需的最小操作数是一个常见的问题。

这个问题实际上是一道动态规划问题。我们可以用一个数组 dp 来记录每个索引处所需的最小操作数。具体来讲，dp[i] 表示将数组中前 i 个数减少到 0 元素所需的最小操作数。为了方便处理，可以将原数组进行前缀和处理，也就是将数组中第 i 个元素的值设置为前 i 个元素之和，即 sum[i] = nums[0] + nums[1] + ... + nums[i-1]。

接下来我们考虑如何更新 dp[i]。显然，如果我们将数组中第 i 个元素减小 x，那么可以得到 sum[i] = sum[i-1] - x。因此，我们可以枚举 x 的取值，即 x = nums[i] - nums[j] (0 <= j < i)，然后选取其中所需操作最小的一种，即 dp[i] = min(dp[i], dp[j] + 1)。最终，dp[n] 就是将数组减少到 0 元素所需的最小操作数。

代码

def min_operations(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    dp = [float('inf')] * (n + 1)
    dp[0] = 0
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(i):
            x = nums[i-1] - nums[j]
            if x >= 0:
                dp[i] = min(dp[i], dp[j] + 1)
    return dp[n] if dp[n] != float('inf') else -1

示例

nums = [1, 2, 3, 4, 5]
print(min_operations(nums))  # 输出：3
# 3 次操作：(1,2,4), (5,3,0)，(0,0,0)