求最大长度子序列使相邻元素具有一个公共因子

问题描述

给定一个整数数组，求最大长度子序列，使得子序列中相邻元素具有一个公共因子。

解题思路

可以使用动态规划的方法解决这个问题。定义状态 $f_i$ 表示以第 $i$ 个数结尾的最大长度子序列。状态转移方程如下：

$$ f_i = \max_{j<i,a_j|a_i}(f_j+1) $$

其中 $a_j|a_i$ 表示 $a_j$ 是 $a_i$ 的因子，即 $a_i$ 可以被 $a_j$ 整除。状态转移方程的意义是，以第 $i$ 个数结尾的最大长度子序列是由以前面可以整除 $a_i$ 的位置结尾的最大长度子序列再加上 $a_i$ 得到的。最终的问题解是 $\max_{i=1}^n f_i$。

以下是 Python 的代码实现：

def solve(nums):
    n = len(nums)
    f = [1] * n
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if nums[j] != 0 and nums[i] % nums[j] == 0:
                f[i] = max(f[i], f[j] + 1)
    return max(f)

注意到 $0$ 和负数没有因子，需要特别处理。

总结

本题是一道典型的动态规划问题，需要设计合适的状态和状态转移方程。在编写代码时，需要注意一些细节问题，比如 $0$ 和负数的特殊情况。