最大段总和问题

问题描述

给定一个长度为 $n$ 的整数数组 $a_1,a_2,\ldots,a_n$。你需要查询后将数组划分成若干个非空的连续段，使得每个数恰好属于一个段中。定义一个段的价值为该段内所有数的和，所有段的价值之和称为一个方案的总价值。请你在所有可能的方案中，求取总价值的最大值。

算法分析

显然，将给定数组划分为一个个连续段是极其困难的。我们考虑将其转化为更符合要求的形式：

令 $f_i$ 表示将数组前 $i$ 个数划分为若干个合法段所能得到的最大总价值。显然，对于 $f_i$，它只能由前 $j<i$ 的数转移而来。我们考虑对每一个 $i$，找到一个数 $j$，使得 $j<i$，且以 $a_j$ 为结尾，$a_{j+1}\sim a_i$ 这些数所能构成的最大价值为 $\mathrm{dp}(i)$ 的前提条件下，$\mathrm{dp}(i)$ 取最大值。

显然，这是一个比较基础的 $dp$。具体而言，状态转移方程为：

$$ f_i=\max{f_j+sum_j^i|1\le j<i} $$

其中 $sum_j^i$ 表示 $a_j$ 到 $a_i$ 的和。这一转移方程可以通过预处理前缀和来 $O(1)$ 计算。

算法时间复杂度 $O(n^2)$，因此只适用于小规模数据或基本算法练习。

代码实现

def max_subarray_sum(nums: List[int]) -> int:
    # 预处理前缀和
    n = len(nums)
    prefix_sum = [0] * (n+1)
    for i in range(1, n+1):
        prefix_sum[i] = prefix_sum[i-1] + nums[i-1]

    # dp求解最大子段和问题
    dp = [0] * (n+1)
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(i):
            dp[i] = max(dp[i], dp[j]+prefix_sum[i]-prefix_sum[j])

    return dp[n]

总结

最大段总和问题是动态规划中的一个基础问题，其状态转移方程可以较为直观地解释。然而，这一问题的时间复杂度为 $O(n^2)$，无法处理大规模数据。在实际应用中，更高效的算法，例如分治法、贪心法等，可以得到更好的性能表现。