查询在给定子树中具有奇数除数的节点数

介绍

本题要求在给定的一棵树中，查询子树中具有奇数除数的节点数。这是一道树型动态规划问题，需要用到以下知识点：

• 深度优先搜索（DFS）
• 前缀和（Prefix Sum）

思路

我们可以使用深度优先搜索（DFS）遍历整棵树。在遍历每个节点时，我们记录从根节点到该节点的路径上每个节点的值的前缀和。这样，我们就可以快速计算出任何子树的值的前缀和。

然后我们需要计算每个节点的子树中具有奇数除数的节点数量。对于每个节点，我们可以将其子树的前缀和按奇偶性分类，使用前缀和的概念统计每个分类中的节点数量。

最后，我们可以在DFS的过程中，使用一个变量来保存答案，最终返回该变量即可。

代码

class Solution:
    def numOfSubtreesWithOddSum(self, n: int, edges: List[List[int]]) -> List[int]:
        mod = int(1e9) + 7
        
        # 构建邻接表
        graph = [[] for _ in range(n)]
        for u, v in edges:
            graph[u - 1].append(v - 1)
            graph[v - 1].append(u - 1)
        
        # DFS计算前缀和
        prefix_sum = [0] * n
        def dfs(node, parent):
            nonlocal prefix_sum
            prefix_sum[node] = (prefix_sum[parent] + node) % 2
            odd_cnt = 1 if prefix_sum[node] == 1 else 0
            even_cnt = 1 if prefix_sum[node] == 0 else 0
            for child in graph[node]:
                if child != parent:
                    dfs(child, node)
                    odd_cnt += cnt_odd[child]
                    even_cnt += cnt_even[child]
            cnt_odd[node] = odd_cnt
            cnt_even[node] = even_cnt
        
        # 计算子树中具有奇数除数的节点数量
        cnt_odd = [0] * n
        cnt_even = [0] * n
        dfs(0, 0)
        ans = [cnt_odd[i] * (n - cnt_odd[i]) + cnt_even[i] * (n - cnt_even[i]) for i in range(n)]
        return [x % mod for x in ans]

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 为节点数，需要遍历每个节点一次。
• 空间复杂度：$O(n)$，需要存储前缀和、每个节点子树中具有奇数除数的节点数量、邻接表等信息。