无界二元搜索示例 (查找单调递增函数首次变为正的点)

简介

无界二元搜索（Unbounded Binary Search）是一种在没有明确边界的情况下进行二元搜索的技术。该算法适用于在一个未知的范围内搜索目标值，只要目标值满足某种特定的属性即可。

本文将介绍一个无界二元搜索的示例，用于查找一个单调递增函数首次变为正的点。我们将使用Python语言来实现这个示例，并给出相应的代码片段。

问题描述

给定一个单调递增的实数函数f(x)，我们需要找到在区间(-∞, +∞)内的一个点x，使得f(x)首次变为正数。也就是说，在x之前的所有点的函数值均为负数或零，而x及其后续的点的函数值均为正数。

解决方案

我们可以使用无界二元搜索算法来解决这个问题。首先，我们需要定义一个判断条件函数isPositive(x)，用于判断函数f(x)的值是否为正数。然后，我们可以使用二元搜索的思路，在搜索过程中不断调整搜索区间，直到找到满足条件的点。

以下是使用Python实现的无界二元搜索示例代码片段：

def isPositive(x):
    # 清空缓存，准备进行函数计算
    clear_cache()
    # 调用函数f(x)获取函数值
    result = f(x)
    return result > 0

def unbounded_binary_search():
    # 初始搜索范围
    left = 0
    right = 1

    # 不断扩大搜索范围，直到找到满足条件的点
    while not isPositive(right):
        # 更新搜索范围的左右边界
        left = right
        right = right * 2

    # 使用二元搜索查找满足条件的点
    while left <= right:
        mid = (left + right) // 2
        if isPositive(mid):
            # 函数值为正，继续在左侧搜索
            right = mid - 1
        else:
            # 函数值为负或零，继续在右侧搜索
            left = mid + 1

    # 返回满足条件的点的坐标
    return left

在代码中，我们首先定义了判断条件函数isPositive(x)，该函数根据输入的x值调用函数f(x)进行计算，并返回判断结果。然后，在unbounded_binary_search()函数中，我们通过不断扩大搜索范围的方式确定初始搜索范围，然后使用二元搜索的思路在搜索区间内查找满足条件的点。

使用示例

我们可以使用以下代码片段来测试上述的无界二元搜索示例：

# 定义实数函数f(x)
def f(x):
    return x * x - x - 2

result = unbounded_binary_search()
print("满足条件的点的坐标为:", result)
print("函数值:", f(result))

在上面的示例代码中，我们定义了一个简单的实数函数f(x)，然后使用unbounded_binary_search()函数来查找满足条件的点。最后，我们打印出满足条件的点的坐标以及对应的函数值。

总结

无界二元搜索是一种在没有明确边界的情况下进行二元搜索的技术。通过定义合适的判断条件函数，我们可以使用这种算法来解决各种问题。本文中提供了一个无界二元搜索示例，用于查找一个单调递增函数首次变为正的点。我们使用Python语言进行了实现，并给出了相应的代码片段。希望这个示例能够帮助你理解和应用无界二元搜索算法。