刻在等边三角形上的圆内切正方形的面积

题目描述

有一个等边三角形，它的边长为a, 现在在它的内部作一个圆，使这个圆恰好刻在等边三角形的三条边上（也就是它和等边三角形的三边都相切），再在这个圆中作正方形，求这个正方形的面积。

分析与解法

根据几何知识，过圆心做两条垂直于三角形两次相交的直线，它们的交点即是正方形的一个顶点。因为这个正方形的四个顶点都躺在圆上，所以这个正方形的四边恰好是切线。下面给出这个正方形的面积。

正方形的对角线长度为圆的直径，圆的直径等于三角形的边长a，所以正方形的边长为：

l = a / √2

正方形的面积为：

S = l^2 = a^2 / 2

因此，答案为等边三角形边长的平方除以二。

代码实现

以下是Python实现的代码片段，返回markdown格式：

# 刻在等边三角形上的圆内切正方形的面积

## 题目描述

有一个等边三角形，它的边长为a, 现在在它的内部作一个圆，使这个圆恰好刻在等边三角形的三条边上（也就是它和等边三角形的三边都相切），再在这个圆中作正方形，求这个正方形的面积。

## 分析与解法

根据几何知识，过圆心做两条垂直于三角形两次相交的直线，它们的交点即是正方形的一个顶点。因为这个正方形的四个顶点都躺在圆上，所以这个正方形的四边恰好是切线。下面给出这个正方形的面积。

正方形的对角线长度为圆的直径，圆的直径等于三角形的边长a，所以正方形的边长为：

l = a / √2

正方形的面积为：

S = l^2 = a^2 / 2

因此，答案为等边三角形边长的平方除以二。

## 代码实现

def square_area(a):
    """
    计算刻在等边三角形上的圆内切正方形的面积

    :param a: 等边三角形的边长
    :return: 正方形的面积
    """
    return a ** 2 / 2