将数组拆分为具有最大对和至多 K 的最小数量的子集

问题描述

给定一个整数数组 nums 和一个正整数 K，将 nums 中的所有数字拆分成多个子集，使得每个子集的数字和不超过 K，且子集数量最小。

解决方案

题目要求将数组拆分成多个子集，使得每个子集的数字和不超过 K。我们可以想到使用动态规划来解决这个问题。

我们定义状态 dp[i][j] 为将前 i 个数字拆分成若干个子集，使得每个子集的数字和不超过 j 时的最小子集数量。对于第 i 个数字，我们有两个选择：

• 将其与之前的数字合并到一个子集中；
• 将其单独拆分为一个子集。

因此，我们可以将状态 dp[i][j] 的值分为两种情况：

• 如果第 i 个数字与前面的数字合并起来，那么状态转移方程为 dp[i][j] = dp[i-1][j-nums[i-1]]，即前 i-1 个数字拆分成的最小子集数量加上包括第 i 个数字在内的一个子集；
• 如果第 i 个数字单独拆分为一个子集，那么状态转移方程为 dp[i][j] = dp[i-1][j] + 1，即前 i-1 个数字拆分成的最小子集数量加上一个新的子集。

最终的答案为 dp[n][K]，其中 n 是数组 nums 的长度。

具体的实现可以参考下面的代码：

def splitArray(nums, K):
    n = len(nums)
    dp = [[float('inf')] * (K+1) for _ in range(n+1)]
    dp[0][0] = 0
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, K+1):
            # 将第 i 个数字与前面的数字合并
            if j >= nums[i-1]:
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i-1][j-nums[i-1]])
            # 将第 i 个数字单独拆分为一个子集
            dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i-1][j]+1)
    return dp[n][K]

注意，在初始化时，所有的状态值都应该初始化为正无穷，表示不可能达到这个状态。而状态 dp[0][0] 应该初始化为 0，因为将一个空数组拆分成一个子集需要 0 个操作。

总结

本文介绍了如何将数组拆分成具有最大对和至多 K 的最小数量的子集。我们使用动态规划来求解这个问题，定义状态 dp[i][j] 表示将前 i 个数字拆分成若干个子集，使得每个子集的数字和不超过 j 时的最小子集数量。状态转移方程分为两种情况：将第 i 个数字与前面的数字合并或者单独拆分为一个子集。最终的答案为 dp[n][K]，其中 n 是数组 nums 的长度。