门 | GATE-CS-2015(Set 2)|问题27

这里是关于 GATE-CS-2015(Set 2) 的问题27的一份解答。这个问题涉及到计算机科学中的逻辑门，需要对基本的AND、OR、NOT门进行分析。

问题描述

已知一个电路包含两个输入A和B以及一个输出Z。下图给出了电路的逻辑图示：

    ______
A --|      |
    | AND  |-- Z
B --|______|

我们将这个电路复制，得到两个并相连，重新得到一个具有4个输入A、B、C和D以及一个输出Z的新电路：

    ______       ______
A --|      |     |      |
    | AND  |-----| AND  |-- Z
B --|______|     |______|
               ____
C ------------|    |
              | OR |--|
D ------------|____|

问题解答

这个问题要求我们回答两个问题：

1. 对于输入变量A、B、C、D的所有可能的组合，列出输出Z的真值表。
2. 给出一个最小化的布尔表达式，可以表示输入变量A、B、C、D与输出变量Z之间的逻辑关系。

真值表

输入变量A、B、C、D的取值都是二进制的0或1。因此，总共有$2^4=16$中不同的可能组合。我们现在需要计算每一种组合下的输出Z的取值。这些取值可以用下面的表格来表示，其中$A_i$, $B_i$, $C_i$和$D_i$指第$i$种输入组合下的A、B、C和D的取值，$Z_i$指对应的输出值。

| $A_i$ | $B_i$ | $C_i$ | $D_i$ | $Z_i$ | | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- | | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |

布尔表达式

现在我们需要找到一组布尔表达式，可以表示输入变量A、B、C、D与输出变量Z之间的逻辑关系。为了简化这个表达式，我们需要对电路进行简化，找到等价的最小电路。

简化电路的方法有很多，最简单的方法是使用Karnaugh图（K-map）。

K-map是一个二维的表格，用于简化布尔表达式。在我们的问题中，我们需要使用一个4-variable K-map（4变量K图），它由16个单元格组成，每个单元格对应于输入变量A、B、C、D中的一个可能的组合。

我们可以将真值表中的0和1映射到K-map上，并尝试找到输入变量的最小表达式，以表示输出变量。

以下是画布上的K-map图：

Markdown 标记：

|  C  |  D  |
| --- | --- |
|  *  |  *  |
|  *  |  *  |

在K-map的每个单元格中，用$Z_i$的值来代表该单元格的值。然后将相邻的单元格组合起来，形成一个最小的布尔表达式，使得它可以表示所有单元格的值。

最后，我们得到以下最小的布尔表达式：

Z = C + A'BD

总结

这里我们回答了关于逻辑门的一些基本问题。我们讨论了如何简化电路，并给出了最小的布尔表达式，以表示所有可能的输入和输出组合之间的逻辑关系。

在实际应用中，对于更复杂的逻辑电路，我们可以使用更高级的技术，例如卡诺图和奎因－麦克拉斯基（Quine-McCluskey）算法来简化电路和表达式。