门| GATE-CS-2016(Set 1)|问题27

这个问题是关于组合逻辑和时序逻辑的概念及其应用。以下是这个问题的详细介绍和解析。

问题描述

一些输入变量和一些使用它们的输出变量被表示为逻辑门电路。下表列出了它们的类型和功能。使用它们设计一个电路来满足下列要求。

|门类型|功能|描述| |-|-|-| |AND| $a \times b$|逻辑与| |XOR| $a\bigoplus b$|异或逻辑|

|输入变量|描述| |-|-| |A|1 位输入变量| |B|1 位输入变量| |C|1 位输入变量| |D|1 位输入变量| |E|1 位输入变量| |F|1 位输入变量| |G|1 位输入变量| |H|1 位输入变量|

|输出变量|描述| |-|-| |Y1|1 位输出变量| |Y2|1 位输出变量| |Y3|1 位输出变量| |Y4|1 位输出变量| |Y5|1 位输出变量| |Y6|1 位输出变量|

功能要求：

• $Y_1=A \times B$
• $Y_2=C \times D$
• $Y_3=E \times F$
• $Y_4=G \times H \bigoplus (E \times F) \bigoplus (C \times D)$
• $Y_5=(G \times H \bigoplus (E \times F) \bigoplus (C \times D)) \bigoplus (A \times B)$
• $Y_6=(G \times H \bigoplus (E \times F) \bigoplus (C \times D)) \bigoplus (A \times B) \bigoplus (E \times F)$

电路应该使用最少的逻辑门。

解析

根据上述功能要求，我们可以使用下面的逻辑门电路来实现：

                               _________
                              |         |
                         +----| Y1=A*B |----+
                         |    |_________|
                         |
                         |    _________
                         +----|         |
                         |    | Y2=C*D  |
                         |    |_________|
                         |
                _________|_________
               |         |         |
          +----| Y3=E*F |         |
          |    |_________|         |
          |                        |
          |                     __V__
          |    _________      |     |
          +----|         |-----| Y6  |
          |    | Y4=G*H \     |_____|
          |    |_________\         |
          |               \        |
          |             ___\V_______V___
          |            |              |
          +------------| Y5=((G*H)  |<----+
                         |^((E*F)     |
                         |^(C*D))     |
                         |____________|

这个电路使用了 8 个输入变量和 6 个输出变量。对于每个功能要求，我们使用不同的逻辑门来实现：

• $Y_1$ 使用 AND 门实现。
• $Y_2$ 使用 AND 门实现。
• $Y_3$ 使用 AND 门实现。
• $Y_4$ 使用 XOR 门实现，使用三个 AND 门来计算每个乘积项。
• $Y_5$ 是 $Y_1$ 和 $Y_4$ 的异或逻辑，所以我们使用 XOR 门实现。
• $Y_6$ 是 $Y_5$ 和 $Y_3$ 的异或逻辑，所以我们使用 XOR 门实现。

因此，我们的电路使用了 3 个 AND 门和 3 个 XOR 门。这是一种最小化门的方案，因为每个乘积项都需要至少一个 AND 门，每个异或逻辑要用到一个 XOR 门。