数字和相等的两个元素的最大和

题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/largest-sum-of-two-equal-subarrays/

题目描述

给定一个整数数组 nums ，找出两个具有相等和的非空子数组各自的最大和，并返回这两个子数组各自的最大和。

如果存在多个解决方案，返回任意一个即可。

示例 1：

输入：nums = [1,2,1,2,6,7,5,1], 输出：10

说明： 两个子数组分别为 [1,2,1,2] 和 [6,7]。

示例 2：

输入：nums = [1,2,1,2,1,2,1,2,1], 输出：6

说明： 两个子数组分别为 [1,2,1,2] 和 [1,2,1,2]，它们各自的和都是 6 。

解题思路

首先，我们可以使用前缀和的思想，即首先求出所有前缀和，来求出任何一段区间的和。

然后，我们考虑以每一个位置 i 为分界点，分别求出其左边和右边分别可能具有的最大子数组和。

假设 left_max_sum[i] 表示以位置 i 划分的左半部分的最大子数组和，right_max_sum[i] 表示以位置 i 划分的右半部分的最大子数组和。

具体地，我们可以从左到右，在每个位置 i 处维护一个滑动窗口，使得窗口内的元素之和最大，同时每遍历到一个位置，我们需要维护三个变量：

• left_max_sum[i] 表示 [0, i] 区间内和为 left_max_sum[i] 的最长子数组长度。

• left_sum[i] 表示 [0, i] 区间的和。

• max_sum 表示前 i 个位置中任意两个相等子数组的最大和。

同理，我们从右到左，在每个位置 i 处维护一个滑动窗口，使得窗口内的元素之和最大，同时每遍历到一个位置，我们需要维护三个变量：

• right_max_sum[i] 表示 [i, n - 1] 区间内和为 right_max_sum[i] 的最长子数组长度。

• right_sum[i] 表示 [i, n - 1] 区间的和。

在以上过程中，我们需要维护一个哈希表，存储已经出现过的前缀和，以及出现的位置（在哈希表中逐个查找，效率较慢）。详见下面的代码：

代码

from collections import defaultdict

class Solution:
    def maxSumTwoEqualSubarrays(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        pre_sum = [0] * (n + 1)
        for i in range(1, n + 1):
            pre_sum[i] = pre_sum[i - 1] + nums[i - 1]
        
        left_max_sum = [0] * n
        left_sum = [0] * n
        hash_map = defaultdict(list)
        for i in range(n):
            left_sum[i] = pre_sum[i + 1] - pre_sum[hash_map[pre_sum[i]][-1]] if pre_sum[i] in hash_map else pre_sum[i + 1]
            hash_map[pre_sum[i]].append(i)
            if i == 0:
                left_max_sum[i] = 0
            else:
                left_max_sum[i] = left_max_sum[i - 1]
            for j in hash_map[pre_sum[i]]:
                if j < i - left_max_sum[i - 1]:
                    continue
                left = i - j + 1
                right = left_max_sum[i - 1]
                if left <= right:
                    if left_sum[i] - left_sum[j] == pre_sum[left_sum[i] - left_sum[j]] and pre_sum[left_sum[i] - left_sum[j]] != 0:
                        max_sum = max(max_sum, pre_sum[left_sum[i] - left_sum[j]] + left_sum[i] - left_sum[j])
                        left_max_sum[i] = left
        right_max_sum = [0] * n
        right_sum = [0] * n
        hash_map = defaultdict(list)
        for i in range(n - 1, -1, -1):
            right_sum[i] = pre_sum[hash_map[pre_sum[i+1]][0]] - pre_sum[i] if pre_sum[i+1] in hash_map else pre_sum[n] - pre_sum[i]
            hash_map[pre_sum[i+1]].append(i)
            if i == n - 1:
                right_max_sum[i] = 0
            else:
                right_max_sum[i] = right_max_sum[i + 1]
            for j in hash_map[pre_sum[i+1]]:
                if j > i + right_max_sum[i + 1]:
                    continue
                left = right_max_sum[i + 1]
                right = j - i + 1
                if left <= right:
                    if right_sum[j] - right_sum[i] == pre_sum[right_sum[j] - right_sum[i]] and pre_sum[right_sum[j] - right_sum[i]] != 0:
                        max_sum = max(max_sum, pre_sum[right_sum[j] - right_sum[i]] + right_sum[j] - right_sum[i])
                        right_max_sum[i] = right
        return max_sum

总结

该题目中使用了哈希表以及滑动窗口等多种算法思想，对于一般的时间复杂度优化也有借鉴意义，对于算法的实现者应该更加熟练各种数据结构的应用。