数学|排列问题套装1

简介

本套装包含了数学中与排列相关的问题，旨在帮助程序员深入了解相关问题，提高编程能力。

内容

本套装的题目包括但不限于以下几个方面：

1.排列组合问题

考虑一组数，从中选择若干个数组成一个集合，被称为组合；若从中选择若干个数，按照一定的顺序排成一列，被称为排列。我们将解决如下问题：

• 如何计算从 $n$ 个数中选取 $m$ 个数的组合数和排列数？
• 如何计算排列中重复元素的数目？

2. 康托展开问题

康托展开是一种用唯一的自然数来表示一个集合排列的方法。我们将解决如下问题：

• 如何计算一个给定的集合排列的康托展开值？
• 如何将一个给定的康托展开值还原成集合排列？

3. 八皇后问题

在8x8的国际象棋棋盘上放8个皇后，要求任何两个皇后都不处于同一行、同一列或同一斜线上，求所有的解。

代码示例

# 1.计算从 n 个数中选取 m 个数的组合数和排列数
from math import comb, perm

n, m = 5, 3

# 计算组合数
combination = comb(n, m)
print(f"C(n, m) = {combination}")

# 计算排列数
permutation = perm(n, m)
print(f"P(n, m) = {permutation}")

# 2.计算排列中重复元素的数目
from collections import Counter

seq = "MISSISSIPPI"
counter = Counter(seq)
repeated = sum(v > 1 for v in counter.values())
print(f"重复元素的数量为 {repeated}")

# 3.计算一个给定的集合排列的康托展开值
from math import factorial

perm = [1, 3, 4, 2, 5]

n = len(perm)
cantor = 0
for i in range(n):
    smaller = sum(perm[j] < perm[i] for j in range(i+1, n))
    cantor += smaller * factorial(n-i-1)
print(f"此排列的康托展开值为 {cantor}")

# 4.将一个给定的康托展开值还原成集合排列
from math import factorial

cantor = 23

n = 5
factorials = [factorial(i) for i in range(n)]
perm = []
for f in reversed(factorials):
    index = cantor // f
    perm.append(index+1)
    cantor -= index * f
print(f"康托展开值为 {cantor} 的排列为 {perm}")

# 5.八皇后问题
def eight_queens(num):
    solutions = []
    def DFS(queens, xy_diff, xy_sum):
        row = len(queens)
        if row == num:
            solutions.append(queens)
            return
        for col in range(num):
            if col not in queens and row-col not in xy_diff and row+col not in xy_sum:
                DFS(queens + [col], xy_diff + [row-col], xy_sum + [row+col])
    
    DFS([], [], [])
    return solutions

solutions = eight_queens(8)
print(f"八皇后问题一共有 {len(solutions)} 种解法")

结论

本套装包含了数学中与排列相关的问题，可以帮助程序员深入了解相关的问题。建议程序员按照本套装的题目自行编写相关代码，并逐步掌握对应的解法。