问题 18

本问题要求编写程序，利用 贪心算法 在一个有向无环图中确定每个节点的最长路径的长度。

程序接口说明

def longest_path(n: int, edges: List[Tuple[int, int]]) -> List[int]:
    pass

• n: 图中节点的数量，一个正整数。
• edges: 表示有向图的所有边。每个元素是 $(u, v)$，表示从节点 $u$ 向节点 $v$ 连一条边。保证每对 $u, v$ 最多出现一次。
• 返回最长路径长度。

使用样例

n = 4
edges = [(0, 1), (0, 2), (1, 2), (2, 3)]
print(longest_path(n, edges))

输出

3

思路与方法

• 用一个列表 $L$ 记录每个节点的当前最长路径长度。初始化为 0。
• 从图中任意选择一个未被处理过的节点 $u$。将节点 $u$ 的当前最长路径长度设为 $max { L(v) + 1 }$，其中 $L(v)$ 表示从节点 $v$ 出发的路径长度的最大值，$(v, u)$ 是一条从 $v$ 到 $u$ 的有向边。
• 重复上述步骤，直到所有节点都被处理过。

算法实现

from typing import List, Tuple

def longest_path(n: int, edges: List[Tuple[int, int]]) -> List[int]:
    graph = [[] for _ in range(n)]
    in_degree = [0] * n    # 计算每个节点的入度，in_degree[i] 表示节点 i 的入度
    for u, v in edges:
        graph[u].append(v)
        in_degree[v] += 1
    queue = []    # 保存入度为 0 的节点
    for i in range(n):
        if in_degree[i] == 0:
            queue.append(i)
    longest_paths = [0] * n    # 保存每个节点的最长路径长度，初始化为 0
    while queue:
        u = queue.pop(0)
        for v in graph[u]:
            in_degree[v] -= 1
            longest_paths[v] = max(longest_paths[v], longest_paths[u] + 1)
            if in_degree[v] == 0:
                queue.append(v)
    return max(longest_paths)

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(V+E)$，其中 $V$ 是节点数，$E$ 是边数。由于每个节点最多被遍历一次，每条边最多被遍历一次，因此时间复杂度为 $O(V+E)$。
• 空间复杂度：$O(V)$。需要一个数组 $L$ 存储每个节点的最长路径长度，和一个队列保存入度为 0 的节点。所有数组的长度都为 $V$，因此空间复杂度为 $O(V)$。