生成图中恰好经过 K 条边的方法数

在给定的图中, 经过一定数量的边后到达起始节点的方法数, 是许多问题中的经典问题。例如, 时间旅行中寻找 K 步距离的状态、最短路径问题等等。本文将介绍2种算法,帮助你能够以的较高的效率计算出这类问题。

1. 暴力计算法

暴力计算法 是一种最朴素的方法, 它通过遍历每一种从起始节点出发，经过 K 条边到达其他任何节点的路径来实现。 在实现的过程中, 任何情况下出现的节点不能超过 K+1 个。

该方法需要用到图遍历的深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）。由于时间复杂度和空间复杂度都很高,实际应用中该方法并不实用。

代码示例

result = []
def dfs(cur_idx, cur_depth, K, path, graph):
    if cur_depth == K:
        if cur_idx == 0: # 判断， 是否恰好经过 K 条边回到起点
            result.append(path)
        return

    for i in range(len(graph[cur_idx])):
        dfs(graph[cur_idx][i], cur_depth + 1, K, path + [graph[cur_idx][i]], graph)
    
def count_path(graph, K):
    dfs(0, 0, K, [0], graph)
    return len(result)

2. 动态规划求解

动态规划（DP）为 恰好经过 K 条边寻找路径数量提供了一种更有效的方法。 具体而言, 该算法使用一个二维数组 dp[i][j], i 表示已访问的节点数，j 表示当前节点的下标。dp[i][j] 记录经过 K 条边，到达下标为 j 的节点的方法数量。 因为在这个问题中我们只关心恰好经过 K 条边的路径数量, 所以我们不更新 dp 中的那些i 大于 K的位置。

动态规划算法的核心是将当前有一定经过边的路径，以及将要添加的新边拆分成很多子问题，并将子问题的结果进行合并。

代码示例

def count_path(graph, K):
    N = len(graph)
    dp = [[0] * N for _ in range(K+1)]
    for i in range(1, K+1):
        for j in range(N):
            for k in range(len(graph[j])):
                dp[i][j] += dp[i-1][graph[j][k]]
        
    return dp[K][0] if K > 0 else 1

总结

对于不能使用 dp 解决的较小规模的问题, 可以尝试使用 暴力DFS或BFS 方法, 可以求出具体路径；对于较大规模问题, 则可以使用 动态规划DP方法, 可以在短周期内计算出较精确的路径总数。