门 | GATE-CS-2004 |问题 20

本题涉及图论中的最小割问题。给定一张无向图 G = (V,E)，其中每条边 (u,v) 的权重 c(u,v) 表示从 u 到 v 的路径的容量。假设 s 和 t 分别是图 G 的起点和终点，求从 s 到 t 的最小割。

最小割可以被理解为一种将图或网络分割为两部分的方法，能够保留两个部分内部的连通性，但减少两个部分之间的连通性。最小割被广泛应用于计算机科学中的图像分割、电信网络和物流网络中的最优路径、社交网络中的社区发现以及数据挖掘等领域。

如果您想了解最小割问题的详细背景和算法，请参考以下 IMT Atlantique 的讲义：最小割问题。

以下是一个最小割问题的 Python 代码实现:

from collections import defaultdict

class Graph:
    def __init__(self, vertices):
        self.V = vertices # 顶点数
        self.graph = defaultdict(list) # 邻接表

    def addEdge(self, u, v, w):
        self.graph[u].append((v, w)) # 添加边

    def BFS(self, s, t, parent):
        visited = [False] * (self.V) # 标记是否访问
        queue = []
        queue.append(s)
        visited[s] = True
        while queue:
            u = queue.pop(0)
            for index, value in enumerate(self.graph[u]):
                v, weight = value
                if visited[v] == False and weight > 0:
                    queue.append(v)
                    visited[v] = True
                    parent[v] = u

        return True if visited[t] else False

    def minCut(self, source, sink):
        parent = [-1] * (self.V)
        max_flow = 0
        while self.BFS(source, sink, parent):
            path_flow = float("Inf")
            s = sink
            while s != source:
                path_flow = min(path_flow, self.graph[parent[s]][s])
                s = parent[s]

            max_flow += path_flow
            v = sink
            while v != source:
                u = parent[v]
                self.graph[u][v] -= path_flow
                self.graph[v][u] += path_flow
                v = parent[v]

        cut_edges = []
        visited = [False] * self.V
        self.DFS(source, visited, cut_edges)

        return max_flow, cut_edges

    def DFS(self, v, visited, cut_edges):
        visited[v] = True
        for index, value in enumerate(self.graph[v]):
            u, weight = value
            if visited[u] == False and weight > 0:
                cut_edges.append((v, u))
                self.DFS(u, visited, cut_edges)

该代码实现依赖于 BFS 和 DFS 算法，并使用 Edmonds-Karp 算法找到每个最小割。这种算法的时间复杂度为 O(V^3)。在实践中，更高效的算法，如 Dinic 算法和 Push-Relabel 算法，可用于解决大型网络的最小割问题。

总之, 最小割问题是一个重要的图论问题, 可以被应用于许多领域, Python 代码实现使用了 BFS 和 DFS 算法, 可以帮助程序员解决小规模的最小割问题。