问题23

本题与计算机科学考试门GATE-CS-2004中题目23相同。

题目描述

假设$f(n)$定义如下：

​ $f(n)=$ 1当n = 1。

​ $f(n)=\frac{1}{2}(f(n-1) + \frac{2}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}f(i)f(n-i))$, 当n > 1

使用 $f(n)$ 的递归定义，给定 $n$ 的值，计算 $f(n)$ 的值。

示例

让我们考虑计算 $f(2)$。

由于 $n > 1$, 因此，我们需要用$f(n)$ 的公式来计算 $f(2)$:

$ f(2) = \frac{1}{2}(f(1) + \frac{2}{1}f(1)f(1))$

代入 $f(1) = 1$, 得到:

$ f(2) = \frac{1}{2}(1 + 2) = \frac{3}{2}$

解题思路

题目要求我们计算 $f(n)$ 的值，可以使用递归的方式解决。我们可以从 $f(1)$ 开始计算，然后逐步计算到 $f(n)$。

对于 $n = 1$，$f(1)$ 的值为1。

对于 $n > 1$，使用 $f(n)$ 的公式 $f(n)=\frac{1}{2}(f(n-1) + \frac{2}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}f(i)f(n-i))$ 计算 $f(n)$ 的值。

在这个公式中，$f(n-1)$ 的值已知，所以需要计算 $\sum_{i=1}^{n-1}f(i)f(n-i)$ (sum_fifni) 。

用递归的方式计算 $f(n-i)$ 和$f(i)$ 相乘的和。如果 $i = n-1$，递归结束。

如果 $i < n-1$，则继续递归 $f(i)$ 和 $f(n-i)$。sum_fifni += f(i) * f(n-i)

最后， $f(n)$ 的值就是 $\frac{1}{2}(f(n-1) + \frac{2}{n-1}sum_fifni)$。

代码实现

def f(n):
    if n == 1:
        return 1

    sum_fifni = 0
    for i in range(1, n):
        if i == n - 1:
            sum_fifni += f(i) * f(n - i)
        else:
            sum_fifni += 2 * f(i) * f(n - i)

    return 0.5 * (f(n - 1) + (2 / (n - 1)) * sum_fifni)

总结

本题是一个较为复杂的递归问题，需要耐心思考和模拟。在实现代码时需要注意循环的范围，即是否需要包含当前 $n$ 值，以及递归的结束条件。通过本题，我们可以深入理解递归的思想和应用。