门| GATE-CS-2004 |问题 12

这是一道GATE计算机科学题，涉及排列组合和递归的知识点。

题目描述

有n个人排成一列准备进入一扇门。门有两个守卫。当门打开时，只有相邻的两个人中至少有一个人被允许通过。两个守卫轮流决定门是否打开，第一个守卫决定第一次是否打开，第二个守卫决定第二次是否打开，以此类推。每次门打开都允许通过一些人。我们的目标是让尽可能多的人通过门。

假设守卫们可以做出理性决策，并且你知道这两个守卫打开门的策略，但你不知道哪一个守卫会首先决定门是否打开。设计一种算法来计算允许通过门的人数的最大值。

例如，考虑n = 5，人排列为ABCDEF。Suppose the guards follow the strategies – the first guard opens the door if and only if the two people are adjacent, and the second guard always opens the door. Then the maximum number of people that can pass through is 4, namely, ABCD or BCDE or CDEF.

解题思路

将每种守卫的策略定义为1个数组，长度为n。例如，对于第一个守卫的策略，数组第i个数字为1表示第i个人和第i+1个人相邻。

首先，我们可以列举所有可能的两个守卫的策略组合。一共有4种组合：第一个守卫遵循其策略并让第二个守卫始终打开门，第二个守卫遵循其策略并让第一个守卫始终打开门，两个守卫都遵循其策略，或者两个守卫都相互反着来。在每种组合下，我们需要计算允许通过门的人数的最大值。

我们可以通过递归算法来解决这个问题，具体步骤如下：

1. 当只有一个人或两个人时，只要相邻的两个人中至少有一个人就可以通过，所以我们可以直接返回相应的子数组。
2. 当有n个人时，我们需要将人分成两组：前n-1个人和后n-1个人。我们需要递归地计算这两个子数组允许通过门的最大人数，并将结果存储在两个变量中。
3. 我们可以遍历第一个守卫可能的策略，对于每种策略，从前n-1个人中选择子数组并递归计算它允许通过门的最大人数。再从后n-1个人中选择子数组并递归计算它的最大人数。最后将允许通过门的最大人数与之前计算的结果比较，取最大值。
4. 重复以上步骤并遍历第二个守卫可能的策略。最终，将两个变量中的最大值返回。

代码实现可以参考以下示例：

def max_people(P):
    n = len(P)
    if n == 1:
        return P
    elif n == 2:
        if P[0] or P[1]:
            return P
        else:
            return []
    else:
        max1 = []
        max2 = []
        # try all possibilities for the first guard's strategy
        for i in range(n-1):
            if P[i] or P[i+1]:
                p1 = max_people(P[:i+1])
                p2 = max_people(P[i+1:])
                if len(p1) + len(p2) > len(max1):
                    max1 = p1 + p2
        # try all possibilities for the second guard's strategy
        for j in range(n-1):
            if P[j] or P[j+1]:
                p1 = max_people(P[:j+1])
                p2 = max_people(P[j+1:])
                if len(p1) + len(p2) > len(max2):
                    max2 = p1 + p2
        return max1 if len(max1) > len(max2) else max2

以上代码是一个简单的递归算法，利用了列表切片来分割子数组。在最坏情况下，算法的时间复杂度为O(2^n)，其中n是人的数量。因此，当n很大时，算法的运行时间可能会非常长。如果需要进一步优化算法，可以考虑使用动态规划、记忆化搜索或其他更高级的技术。

总结

本题考察了递归、排列组合的知识点，同时还需要设计一种算法来计算允许通过门的人数的最大值。通过分析问题的特点，可以设计出一个简单的递归算法。除此之外，本题还可以进一步优化算法。在实际编程过程中，需要注意代码实现和边界条件的处理，尤其是对于问题较复杂的情况需要做好各种可能情况的脑图及代码实现。