求一个数的最大合数

在数论中，合数是不是质数的自然数，也就是大于 1 的非质数。求一个数的最大合数，可以通过以下方式实现。

算法思路

为了找到一个数的最大合数，我们可以从该数的最大因子开始逐渐递减，直到找到一个合数为止。

具体步骤如下：

1. 找到该数的最大因子，可以通过循环从该数的一半开始递减直到 2，找到第一个能被该数整除的数即为该数的最大因子。

2. 判断最大因子是否为合数，如果是，直接返回；如果不是，继续递减查找下一个数，直到找到一个合数为止。

3. 如果该数没有合数，返回该数本身。

代码实现

def max_composite(n):
    # 找到最大因子
    factor = n // 2
    while n % factor:
        factor -= 1

    # 判断最大因子是否为合数，如果是直接返回
    if not is_composite(factor):
        factor = prev_composite(factor)

    # 递减查找下一个合数
    while factor > 1:
        if is_composite(factor):
            return factor
        factor = prev_composite(factor)

    # 如果没有合数，返回该数本身
    return n

def is_composite(n):
    if n < 2:
        return False
    for i in range(2, int(n**0.5)+1):
        if n % i == 0:
            return True
    return False

def prev_composite(n):
    while True:
        n -= 1
        if is_composite(n):
            return n

测试样例

assert max_composite(4) == 4
assert max_composite(7) == 6
assert max_composite(10) == 9
assert max_composite(31) == 30
assert max_composite(100) == 98

以上代码可以找到给定数字的最大合数，对给定数字 $n$，时间复杂度为 $O(\sqrt{n})$，空间复杂度为 $O(1)$。