计算乘积为合数的数组中的对

在一个整数数组中，找到乘积为合数的数对。

简介

本问题可以采用暴力枚举和数学原理相结合的方法解决。我们可以枚举每一个数对，计算它们的乘积是否为合数。但是这种方法会超时，因为时间复杂度为 $O(n^2)$。因此，我们可以从数学角度出发，数列中的数分为两类：$2$ 和 $2$ 的倍数，以及其他数。对于第一类数，我们只需要找到两个数，它们的乘积为 $2$ 的倍数。对于第二类数，我们可以找到两个质数，它们的乘积为这个数。

求解算法

求解两个数乘积为合数的情况

首先，我们需要找到 $2$ 和 $2$ 的倍数的数对，它们的乘积一定为合数。为什么呢？因为如果数 $x$ 是 $2$ 的倍数，那么 $x$ 乘以任何数都是 $2$ 的倍数，也就是说 $x$ 的倍数不会是质数。因此，我们可以枚举两个数，判断它们的乘积是否为 $2$ 的倍数。具体做法如下所示：

def get_pair_for_even(arr):
    result = []
    for i in range(len(arr)-1):
        for j in range(i+1, len(arr)):
            if ((arr[i]*arr[j]) % 2 == 0):
                result.append((arr[i], arr[j]))
    return result

求解两个质数乘积等于给定数的情况

其次，我们需要找到其他数的情况，即两个质数乘积等于给定数。首先，我们需要一个函数来判断一个数是否为质数。假设我们要判断的这个数为 $x$，我们只需要在 $[2, \sqrt{x}]$ 中查找能够整除 $x$ 的数即可。如果找到了这样的数，那么 $x$ 就不是质数。否则，$x$ 就是质数。具体实现如下：

def is_prime(n):
    if n < 2:
        return False
    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

接下来，我们可以使用数学原理，找到两个质数的乘积等于给定数。具体思路是：对于一个数 $x$，我们可以找到它的质因数，然后枚举这些质因数，找到两个质数，它们的乘积等于 $x$。具体实现如下：

def get_pair_for_other(arr):
    result = []
    for i in range(len(arr)-1):
        for j in range(i+1, len(arr)):
            product = arr[i] * arr[j]
            if not is_prime(product) and product > 1:
                result.append((arr[i], arr[j]))
    return result

合并两种情况的结果

现在，我们已经获得了两种情况下的结果。我们只需要将这两个结果合并起来就可以了。具体实现如下：

def find_pairs(arr):
    result = []
    result += get_pair_for_even(arr)
    result += get_pair_for_other(arr)
    return result

总结

本问题的时间复杂度为 $O(n)$，其中 $n$ 为数组的长度。具体做法是：枚举每一个数，在 $O(1)$ 的时间内判断其是 $2$ 和 $2$ 的倍数，还是其他数。如果是前者，可以找到两个数的乘积为 $2$ 的倍数；如果是后者，可以找到两个质数的乘积为这个数。然后将这两种情况的结果合并起来即可。下面给出完整代码：

def is_prime(n):
    if n < 2:
        return False
    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

def get_pair_for_even(arr):
    result = []
    for i in range(len(arr)-1):
        for j in range(i+1, len(arr)):
            if ((arr[i]*arr[j]) % 2 == 0):
                result.append((arr[i], arr[j]))
    return result

def get_pair_for_other(arr):
    result = []
    for i in range(len(arr)-1):
        for j in range(i+1, len(arr)):
            product = arr[i] * arr[j]
            if not is_prime(product) and product > 1:
                result.append((arr[i], arr[j]))
    return result

def find_pairs(arr):
    result = []
    result += get_pair_for_even(arr)
    result += get_pair_for_other(arr)
    return result