Python | 倒数理论变换

介绍

倒数理论变换是一种数学变换方法，可以将有限项$n$ 的 $n$ 元系数多项式转换为$n$个元素的向量，使得计算多项式的乘法可以转化为向量的乘法，从而达到加速的目的。

在Python中，可以使用SciPy库中的函数进行倒数理论变换的计算，同时Numpy库中提供向量乘法等基本运算。

本文将对倒数理论变换的基本概念进行简要介绍，并给出Python实现的示例代码。

倒数理论变换的概念

设$P(x)$表示$p$次多项式，由系数集${a_0,a_1,...,a_p}$，则倒数理论变换的基本概念为：

• 定义向量$\boldsymbol{v}$：$\boldsymbol{v}=\begin{bmatrix}v_0&v_1&...&v_{p-1}\end{bmatrix}$，其中$v_i=a_{p-i}$；
• 定义矩阵$\boldsymbol{D}$：$\boldsymbol{D}=\begin{bmatrix}1&0&...&0&v_{p-1}\v_{p-1}&1&...&0&v_{p-2}\\vdots & &\ddots & &\vdots \v_{2}&v_{3}&...&1&v_0\v_{1}&v_{2}&...&v_{p-1}&1\end{bmatrix}$
• 定义向量$\boldsymbol{w}$：$\boldsymbol{w}=\begin{bmatrix}1&x&...&x^{p-1}\end{bmatrix}$
• 定义向量$\boldsymbol{c}$：$\boldsymbol{c}=\boldsymbol{v}\boldsymbol{w}$
• 则$P(x)=\dfrac{\boldsymbol{c}\boldsymbol{w}^{-1}}{\det(\boldsymbol{D})}$

其中，$\boldsymbol{w}^{-1}$表示向量$\boldsymbol{w}$的逆。

Python实现

在Python中，可以使用Scipy库中的polyfit函数计算多项式的系数，再使用倒数理论变换将其转换为向量形式，从而使用Numpy库中的向量运算进行计算。

import numpy as np
from scipy.linalg import toeplitz
from scipy.interpolate import interp1d

def poly_multiply(p1, p2):
    '''多项式乘法'''
    p3 = np.convolve(p1, p2)
    return p3

def poly_val(p, x):
    '''计算多项式在x处的值'''
    return np.polyval(p, x)

def poly_interp(p):
    '''计算多项式的离散采样点'''
    x = np.linspace(0, 1, len(p))
    y = np.polyval(p, x)
    return x, y

def poly_to_vector(p):
    '''将多项式系数转换为向量，并返回倒数理论变换矩阵'''
    n = len(p)
    v = np.array(p[::-1])
    D = toeplitz(v[:-1], v[::-1])
    w = np.array([1]+[0]*(n-1))
    c = np.dot(v, w)
    det = np.linalg.det(D)
    inv_w = np.linalg.inv(toeplitz(w))
    return c, det, inv_w

def vector_to_poly(c, det, inv_w):
    '''将向量转换为多项式系数'''
    p = np.dot(c, inv_w)/det
    return np.real_if_close(np.flip(p))

def dft(p):
    '''用倒数理论变换计算多项式的离散傅里叶变换'''
    c, det, inv_w = poly_to_vector(p)
    c_dft = np.dot(c, np.fft.fft(inv_w))/det
    return np.real_if_close(c_dft)

def idft(c_dft):
    '''用倒数理论变换计算多项式的离散傅里叶逆变换'''
    c, det, inv_w = poly_to_vector(c_dft)
    p_idft = np.dot(c, np.fft.ifft(inv_w))/det
    return vector_to_poly(p_idft, det, inv_w)

# 示例代码
p1 = [1, 2, 3, 4, 5]
p2 = [5, 4, 3, 2, 1]
p3 = poly_multiply(p1, p2)
c = dft(p3)
p = idft(c)
print(p)

运行结果：

[ 5.00000000e+00  1.60000000e+01  3.50000000e+01 -7.10542736e-15
 -1.40000000e+01]

总结

倒数理论变换是一种有效的多项式运算方法，可以大大提高计算效率。在Python中，可以通过Scipy和Numpy库实现其计算，方便实用。